自动控制 第八章 系统定性分析 2.doc

《自动控制理论》教案 8- 14 中国科学技术大学自动化系 2017-2-19 § 能控性与能达性在讨论了系统的稳定性之后,我们开始讨论一系列新的定性概念,如能达性( Reachability ) 、能观性( Observability ) ;能控性( Controllability ) ,能构性( Constructibility ); 能稳定性( Stabilizability ), 能检测性( Detectability )等待, 对系统的这些特性进行定性分析,对于分析、特别是设计系统有着很重要的实际意义。本章我们只研究能控性和能观性(事实上是能达性和能观性)。简而言之,系统的能控性和能观性的概念,就是回答“系统的状态是否能控制”和“状态的变化能否由输出反映出来”这两个问题。线性系统的能控性能观性概念是由 . 卡尔曼在 1960 年首先提出来的,对现代控制系统不论是从理论或从实践观点来看都占有极重要的地位。卡尔曼( Rudolf Emil Kalman ) ,匈牙利数学家, 1930 年5月19 日出生于匈牙利首都布达佩斯。 1953 年和 1954 年在美国麻省理工学院( MIT )分别获得理学(又一说是电机工程学)学士及硕士学位。1957 年在哥伦比亚大学获得科学博士学位。1957 ~195 8 年在国际商业机械器公司(IBM) 研究大系统计算机控制的数学问题。1958 ~1964 年在巴尔的摩高级研究院研究控制和数学问题。 1964 ~1971 年到斯坦福大学任教授。 1971 年任佛罗里达大学数学系统理论研究中心主任﹐并兼任苏黎世的瑞士联邦高等工业学校教授。著名的卡尔曼滤波器,正是源于他的博士论文和 1960 年发表的论文《 A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》(线性滤波与预测问题的新方法)。他也因此而闻名于世。简单来说, 卡尔曼滤波器是一个“ optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法) ”。它广泛应用于包括机器人导航、控制、传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理,例如头脸识别,图像分割,图像边缘检测等等。 1960 年卡尔曼还提出了能控性的概念。能控性是控制系统的研究和实现的基本概念,在最优控制理论﹑稳定性理论和网络理论中起著重要作用。卡尔曼还利用对偶原理导出能观测性概念,并在数学上证明了卡尔曼滤波理论与最优控制理论对偶。为此获国际电气与电子工程师学会(IEEE) 的最高奖──荣誉奖章。卡尔曼著有《数学系统概论》(1968) 等书。 能控与能达的概念定义 :状态的能控与能达对系统 Bu Ax x???的一个特定状态 x ,若存在一个有限时间 0? ft ,及控制函数],0[)()( ftttt??uu 能够把系统?? BA, 从初始状态 xx?)0( 推向状态 0x?)( ft ,则称该系统的这一特定状态 x 是能控的;反过来,如果存在将系统从 0x?)0( 推向 xx?)( ft 的控制作用,则称状态 x 为能达的。定义 :系统的能控与能达如果系统?? BA, 中的每一个状态都是能控的,则称系统是状态完全能控的或简称系《自动控制理论》教案 8- 15 中国科学技术大学自动化系 2017-2-19 统是能控的;同样,若系统中每一个状态都是能达的则称系统是状态完全能达的,或简称系统是能达的。要指出的是:对于连续时间系统而言,系统能控与系统能达是完全等价的。 连续时间系统能控的条件一、能控性定理定理 :能控性定理对于线性定常系统 Bu Ax x???,状态 x 是能控状态的充要条件是存在有限的 0? ft ,使该状态属于象空间)]([ fCtWR ,即)]([ fCtWR?x ,其中?????? tfCdeetW 0)(???AABB 称为能控格兰姆( G ramian )矩阵。推论 :线性定常系统 Bu Ax x???能控的充要条件是其能控格兰姆矩阵非奇异。由定理 ,推论的结论是自然的。在很多书上(包括我们的教材)此推论就被直接陈述为能控性定理,当然它可以直接得到证明。我们先证明:若 W c(t)是非奇异的,则系统是能控的。当初态为 x 时,选取 1 ( ) ( ) t C f t e t ?? ???? A u B W x ],0[ ftt?则系统 t f时刻的响应是( ) ( ) 1 0