全国高中数学竞赛专题-三角函数.doc

1 三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。定义 2 角度制:把一周角 360 等分,每一等分为一度。弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360 度=2 π弧度。若圆心角的弧长为 L ,则其弧度数的绝对值|α|=r L , 其中 r 是圆的半径。定义 3 三角函数:在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P, 设它的坐标为(x,y), 到原点的距离为 r, 则正弦函数 s inα=r y , 余弦函数 cosα=r x , 正切函数 tan α=x y ,余切函数 cot α=y x ,正割函数 secα=x r , 余割函数 cscα=.y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系: tan α=? cot 1 ,s inα=? csc 1 , cosα=? sec 1 ; 商数关系: tan α=????? sin cos cot , cos sin ?; 乘积关系: tan α× cosα=s inα, cot α× s inα= cosα; 平方关系: s in 2α+ cos 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1= csc 2α. 定理 2 诱导公式( Ⅰ)s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=- cosα, tan (π+α)= tan α, cot (π+α)= cot α; (Ⅱ)s in (-α)=-s inα, co s(- α)= cosα, tan (-α)=- tan α, cot (-α)= cot α; (Ⅲ)s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=- cosα, tan =(π-α)=- tan α, cot (π-α)=- cot α; (Ⅳ)s in?????????2 = cosα, cos?????????2 =s inα, tan?????????2 = cot α( 奇变偶不变, 符号看象限)。定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y =s inx (x∈R )的性质如下。单调区间:在区间????????2 2,2 2 ????kk 上为增函数,在区间????????????2 32,2 2kk 上为减函数, 最小正周期: 2?. 奇偶性:奇函数有界性:当且仅当 x =2 kx+2 ?时, y 取最大值 1 ,当且仅当 x =3 k?-2 ?时,y 取最小值-1 ,值域为[-1 , 1]。对称性:直线 x=k?+2 ?均为其对称轴,点( k?,0 )均为其对称中心。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y= cosx(x∈R) 的性质。单调区间:在区间[2kπ,2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ] 上单调递增。最小正周期: 2π。奇偶性:偶函数。有界性:当且仅当 x =2 kπ时, y 取最大值 1 ;当且仅当 x =2 kπ-π时, y 取最小值-1 。值域为[-1 , 1]。对称性:直线 x=kπ均为其对称轴,点???????0,2 ??k 均为其对称中心。这里 k∈Z. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y= tanx (x? kπ+2 ?) 在开区间(kπ-2 ?,kπ+2 ?) 上为增函数, 最小正周期为π,值域为( -∞,+∞),点( kπ,0 ),( kπ+2 ?,0 )均为其对称中心。定理 6 两角和与差的基本关系式: co s(α?β)= cosα cosβ? s inαs inβ, s in(α?β)=s inα cosβ? cosαs inβ; tan (α?β)=.) tan tan 1( ) tan (tan ??????两角和与差的变式: 2 2 2 2 sin sin cos cos sin( )sin( ) ? ???????? ????? 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos( ) cos( ) ? ???????? ?????三角和的正切公式: tan tan tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan tan ? ?????? ??? ?????? ??? ??? ??定理 7 和差化积与积化和差公式:s inα+s inβ=2s in???????2 ?? cos???????2 ??,s inα-s inβ=2s in???