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现代数学基础学****报告 Banach 压缩映像原理及其应用院系:信息与电气工程专业:电子与通信工程导师:刘爱军姓名:崔少鹏学号: 12S130046 摘要在科学技术迅速发展的今天,各学科对数学的要求越来越高,如工程、经济、管理中涉及的数学知识越来越多、越来越深刻。泛函分析是数学中比较年轻的分支,它是古典分析观点的推广,它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数,内容极其丰富,体系更加系统、严谨,观点尤为深刻,作为一种研究工具已经渗入到工程、化学、生物以及数学的许多分支。在微分方程、概率论、力学、控制论等许多学科得到广泛的应用。对于数学工作者和以数学为工具的工程技术人员来说,泛函分析是一个非常有效的数学工具。本文将利用泛函分析中的 Banach 压缩映像理论研究求解代数方程、微分方程、积分方程以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据,该方法是数学和工程计算中最常用的方法之一。文中首先介绍 Banach 压缩映像原理理论,然后将其用到代数方程、微分方程以及积分方程的求解中。关键词: Banach 压缩映象,微分方程,积分方程,线性方程组随着现代电子计算机技术的发展,我们在解方程(包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等)的过程中,大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说:对一个方程,只要给定一个迭代公式,就算求出了这个方程的解,我们仍需要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题。但是在逐次迭代中,我们必须保证迭代过程中得到的是收敛序列,否则就毫无意义了,而迭代法求解方程的实质就是寻求变换(映射、映照)的不动点。例如求解方程的根?? 0 f x ?,我们就可以令???? g x x f x ? ?,则求?? 0 f x ?的根就变成求?? g x 的不动点,即求 0x ,使???? 0 0 g x x f x ? ?。而通常求映射的不动点的方法中,最简单的就是下面我们所讲述的 Banach 压缩映像原理。下面我们通过几个有用的定义和例子慢慢引出 Banach 压缩映像原理。定义 1设 T是集合 X到 X的映射,若存在 x X ?,使得 Tx x ?,则称 x为映射 T的不动点( fixed point )。例1平移映射:T ??? ?为??, 0 T x x ?? ??? ? ???,则 T ?没有不动点。例2定义映射:T?? ?为?? 2 T x x x ? ??,则 T有两个不动点: 0和1。例3投影映射 2 2 1:P?? ?定义为,对每一个?? 2 1 2 ,x ? ?? ??,?? 1 1 , 0 Px ??, 则 1P 有无穷多个不动点。我们一般比较关心映射: T X X ?在什么条件下存在唯一的不动点,在本文中,我们将指出,完备的度量空间 X到自身的某一类映射(称为压缩映射),存在唯一的不动点。这就是 Banach 压缩映象原理,在证明该原理的过程中,具体地给出了如何求不动点的方法,即迭代法。定义 2设??, X d 是度量空间,映射: T X X ?。若存在一个常数?, 0 1 ?? ?使得一切, x y X ?,有????, , d