第六章 无穷级数.doc

1页第六章无穷级数§ 将初等函数展开为幂级数一、知识结构 1 、泰勒级数 2 、将函数展开成幂级数二、考试大纲要求 1 、熟记 xe 、x sin 、x cos 、x?1 1 ,)1 ln( x?的麦克劳林公式。 2 、会用上述五个麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为 x 或0xx?的幂级数。一、泰勒级数要解决的问题?给定函数 f(x) ?要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”?就是说?是否能找到这样一个幂级数?它在某区间内收敛?且其和恰好就是给定的函数 f(x) ?如果能找到这样的幂级数?我们就说?函数 f(x) 在该区间内能展开成幂级数?或简单地说函数 f(x) 能展开成幂级数?而该级数在收敛区间内就表达了函数 f(x) ?1 、泰勒级数?如果 f(x) 在点 x 0 的某邻域内具有各阶导数 f ?(x) ?f ??(x) ?????f (n)(x) ?????则当 n ??时?f(x) 在点 x 0 的泰勒级数)(!3 )()(!2 )() )(()( 30 020 0000????????????????xx xfxx xfxxxfxf)(! )( 0 0 )(?????? n nxxn xf 这一幂级数称为函数 f(x)的泰勒级数?显然?当x ?x 0时?f(x) 的泰勒级数收敛于 f(x 0) ?需回答的问题?除了 x ?x 0外?f(x) 的泰勒级数是否收敛? 如果收敛?它是否一定收敛于 f(x )? 2 、收敛定理定理设函数f(x)在点x 0 的某一邻域U(x 0) 内具有各阶导数?则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f(x) 的泰勒公式中的余项 R n(x)当n ?0 时的极限为零?即))((0)( lim 0xUxxR nn?????3 、麦克劳林级数: 在泰勒级数中取 x 0?0 ?得2页??????????????! )0(!2 )0()0()0( )(2n nxn fx fxff ?此级数称为 f(x)的麦克劳林级数?二、函数展开成幂级数( 主要是指展开成麦克劳林级数) 1 、直接法展开步骤?第一步求出 f(x) 的各阶导数?f ?(x) ?f ??(x) ?????f (n)(x) ?????第二步求函数及其各阶导数在 x ?0 处的值? f (0) ?f ?(0) ?f ??(0) ?????f (n)( 0) ?????第三步写出幂级数! )0(!2 )0()0()0( )(2?????????????? n nxn fx fxff ?并求出收敛半径 R ?例将函数 f(x) ?e x 展开成 x 的幂级数?解所给函数的各阶导数为 f (n)(x) ?e x(n ?1 ?2 ????) ?因此 f (n) (0) ? 1(n ?1 ?2 ????) ?于是得级数 2 1 1 1 2! ! n x x x n ? ? ??????????它的收敛半径 R ????( 2006 年试题) 19 :将 xe 展开成 x 的幂级数,则展开式中含 3x 项的系数为______________ 。解:)(! 1!2 11 2 ????