第六节(双曲线).doc

第六节双_曲_线[ 知识能否忆起] 1. 双曲线的定义平面内与定点 F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数( 小于|F 1F 2 |) 的点的轨迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 双曲线的标准方程和几何性质标准方程 x 2a 2- y 2b 2= 1(a >0 ,b >0) y 2a 2- x 2b 2= 1(a >0 ,b >0) 图形性质范围 x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a 对称性对称轴: 坐标轴对称中心: 原点对称轴: 坐标轴对称中心:原点顶点 A 1(- a, 0),A 2( a, 0)A 1 (0 ,- a),A 2 (0,a) 渐近线 y=± ba xy=± ab x 离心率 e= ca ,e∈(1 ,+ ∞) ,其中 c= a 2+b 2 实虚轴线段 A 1A 2 叫做双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|=2a ;线段 B 1B 2 叫做双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长通径过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为 2b 2a a、b、c 的关系 c 2=a 2+b 2(c>a >0 ,c>b >0) [ 小题能否全取] 1.( 教材****题改编) 若双曲线方程为 x 2-2y 2=1 ,则它的左焦点的坐标为() A. - 22 ,0 B. - 52 ,0 C. - 62 ,0 D.( -3,0) 解析: 选C∵双曲线方程可化为 x 2- y 212 =1, ∴a 2=1,b 2= 12 .∴c 2=a 2+b 2= 32 ,c= 62 . ∴左焦点坐标为- 62 ,.( 教材****题改编) 若双曲线 x 2a 2-y 2=1 的一个焦点为(2,0) ,则它的离心率为() A. 255 B. 32 C. 233 解析: 选C 依题意得 a 2+1=4,a 2=3, 故e= 2a 2= 23 = 233 . 1,F 2 是双曲线 x 2- y 2 24 =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3| PF 1|= 4| PF 2|, 则△ PF 1F 2 的面积等于() C. 24D. 48 解析: 选C由P 是双曲线上的一点和 3| PF 1|= 4| PF 2| 可知, | PF 1|-| PF 2|=2 ,解得| PF 1| =8,| PF 2|= |F 1F 2|=2c= 10, 所以△ PF 1F 2 为直角三角形, 所以△ PF 1F 2 的面积 S= 12 ×6×8 = 24. 4. 双曲线 x 2a 2-y 2= 1(a> 0) 的离心率为 2, 则该双曲线的渐近线方程为________________ . 解析: 由题意知 a 2+1a = 1+ 1a 2=2 ,解得 a= 33 ,故该双曲线的渐近线方程是 3x±y=0 ,即 y=± 3x. 答案: y=±3x5 .已知 F 1 (0 ,- 5),F 2 (0,5) ,一曲线上任意一点 M 满足| MF 1|-| MF 2|=8 ,若该曲线的一条渐近线的斜率为 k ,该曲线的离心率为 e ,则|k|·e= ________. 解析: 根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支, ∵c=5,a=4,∴b=3,e= ca = 54 ,|k|= 43 . ∴|k|·e= 43 × 54 = 53 . 答案: 53 1. 区分双曲线与椭圆中 a、b、c 的关系,在椭圆中 a 2=b 2+c 2 ,而在双曲线中 c 2=a 2+ b 2. 双曲线的离心率 e>1 ;椭圆的离心率 e∈(0,1) . 2 .渐近线与离心率: x 2a 2- y 2b 2= 1(a >0 ,b >0) 的一条渐近线的斜率为 ba = b 2a 2= c 2-a 2a 2=e 2-1. 可以看出, 双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. [ 注意]当a>b >0 时,双曲线的离心率满足 1< e<2; 当a=b >0 时, e= 2( 亦称为等轴双曲线); 当b>a >0 时, e> . 直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交于一点, 但不是相切; 反之, 当直线与双曲线相切时, 直线与双曲线仅有一个交点. 双曲线的定义及标准方程典题导入[例 1] (1) (2012 · 湖南高考) 已知双曲线 C: x 2a 2- y 2b 2=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1) 在C 的渐近线上,则 C 的方程为() A. x 2 20 - y 25 =1 B. x 25 - y 2 20 =1 C. x 2 80 - y 2 20 =1 D. x 2