第六节对坐标的曲面积分.ppt

第六节对坐标的曲面积分一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧(非封闭曲面) (封闭曲面) 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面的侧是由曲面法向量的指向决定的. 曲面的投影问题:(计算对坐标的曲面积分时要把曲面积分化成二重积分,涉及曲面在坐标面上的投影问题) 面在xoy S?, cos 0 0 cos )( 0 cos )()(?????????????时当时当时当????? xy xy xyS.)( 表示投影区域的面积其中 xy??为上的投影 xyS)(?曲面S?分别是曲面在点( x,y,z) 的法线向量与 X,Y,Z轴正向的夹角类似地有: ?? yzS)(???????????0 cos ,)( 0 cos ,0 0 cos ,)(????? yz yz?????????????0 cos ,)( 0 cos ,0 0 cos ,)()(????? xz xz xzS ???,,其中二、概念的引入实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量v ?, 有向平面区域 A, 求单位时间流过 A 的流体的质量?( 假定密度为 1).A v ? 0n ??AAvnvA vA??????????? 0 cos ?流量(2) 设稳定流动的不可压缩流体( 假定密度为 1) 的速度场由kzyxRjzyxQizyxPzyxv ????),,(),,(),,(),,(???给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数),,( ),,,( ),,,(zyxRzyxQzyxP 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量?.x y zo ?x y zo ?? iS?),,( iii??? iv ? in ?把曲面Σ分成n 小块is?(is?同时也代表第i 小块曲面的面积), 在is?上任取一点),,( iii???,1. 分割则该点流速为. iv ?法向量为. in ?该点处曲面Σ的单位法向量kjin iiii??????? cos cos cos 0???, 通过is?流向指定侧的流量的近似值为).,,2,1(niSnv iii????,),,(),,(),,( ),,(kRjQiP vv iiiiiiiii iiii???????????????????? 2. 求和通过Σ流向指定侧的流量?????? ni iiiSnv 1 iiiii iiii ni iiiiSR QP??????] cos ),,( cos ),,( cos ),,([ 1???????????? xyiiii xziiii yz ni iiiiSR SQSP) )(,,( ) )(,,() )(,,([ 1????????????????? 0??. 的精确值取极限得到流量????????? ni xyiiiiSRdxdy zyxR 1 0) )(,,( lim ),,(????被积函数积分曲面类似可定义???????? ni yziiiiSP dydz zyxP 1 0) )(,,( lim ),,(???????????? ni zxiiiiSQ dzdx zyxQ 1 0) )(,,( lim ),,(????常用的形式是组合形式:dxdy zyxR dzdx zyxQ dydz zyxP),,(),,(),,(?????对坐标的曲面积分存在的充分条件: 当),,( ),,,( ),,,(zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面Σ上连续时, :dxdy zyxR dzdx zyxQ dydz zyxP),,(),,(),,(??????? Rk Qj Pi v????的稳定的密度为 1的不可压缩流体在单位时间内流向指定侧的流量表示流速为?