第六讲 多元函数的概念.ppt

第五讲多元函数的概念一、多元函数的概念例1 矩形面积 S与长 x,宽 y有下列依赖关系 S= xy ( x >0, y >0) , 1、引例其中长 x和宽 y是两个独立的变量,在它们变化范围内,当 x,y的值取定后,矩形面积 S有一个确定值之对应. 例2 理想气体的压强 P与容积 V,绝对温度 T之间有下列依赖关系),,0,0(为常量 RTVV RT P???其中 V,T是独立取值的两个变量,在它们的变化范围内,对 V,T的每一组值,压强 P有一个确定值与之对应. 设有三个变量 x,y,z,如果对于变量 x, y的变化范围内所取的每一对值,变量 z都按照一定的规则,有一个确定的值与之对应,则称 z为x, y的二元函数,记作 z=f(x,y)或z=z(x,y), 其中 x,y称为自变量,z称为函数(或因变量).自变量x,y的变化范围称为函数的定义域. 当自变量 x,y分别取 x 0,y 0时,函数 z的对应值 z 0,记作 z 0=f(x 0,y 0),称为二元函数 z=f(x,y ) 当x=x 0,y=y 0,,可以定义三元函数 u=f(x,y,z). ,一般是根据实际问题确定函数的定义域. 对于由数学式子表示但未说明具体范围的函数 z=f(x,y),定义域为使函数 ,就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围. 例3 ???解自变量 x,y必须满足不等式,1 22??yx 即为函数定义域. 例4 求函数 z= ln( x+y) x+y >0. 例5 求函数的定义域(a >0, b >0). b ya xz arcsin arcsin ??解函数的定义域由不等式组 byax??||||, bybaxa??????, 即其图形是矩形内部(包括边界). 例6 1yx z???解函数的定义域为,0)(1 22???yx .1 22??yx即它的图形是单位圆内部(不包括边界). 二元函数定义域的图形可以是全平面, 也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分,,或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域,: (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成, (2) 点集内不包含边界上的点, (3) 点集内任意两点,存在一条全部含于该点集内的折线,将该两点连接起来.