第六节傅里叶级数.ppt

高等数学电子教案武汉科技学院数理系第六节傅里叶级数上面我们已经研究了用幂级数来表示一个函数 f(x), 该函数的幂级数展开式是以多项式的形式逼近非多项式函数, ,. 高等数学电子教案武汉科技学院数理系(1) 要求函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数. (2) 如果具备条件( 1)后,还要求它的余项极限为 0,,傅里叶级数对函数的要求就低很多,它只要求函数连续,即使函数不连续,但它允许只有有限个第一类间断点,,,我们对傅里叶级数的展开式进行介绍. 高等数学电子教案武汉科技学院数理系 ,) sin cos (2 1 0的级数叫做三角级数形如????? n nnnx bnx a : 一三角函数,三角函数系的正交性;.....) 3,2,1(,, 0都是常数其中?nbaa nn ,sinx, cos2x, sin2x, …., cosnx , sinnx ,…… :三角函数系在[-π,π]上正交,是指三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]: 高等数学电子教案武汉科技学院数理系,...) 3,2,1(0 cos 1)1(?????n nxdx ??),..., 3,2,1,(0 cos cos )4(nknk nxdx kx????????,...) 3,2,1(0 sin 1)2(?????n nxdx ??,...) 3,2,1,(0 cos sin )3(?????nk nxdx kx ??),..., 3,2,1,(0 sin sin )5(nknk nxdx kx????????高等数学电子教案武汉科技学院数理系现选择(4) 式用计算定积分来验证,由积化和差可得到: ]) cos( ) [cos( 2 1 cos cosxnkxnknx kx????时有当nk????????????? dxxnkxnk nxdx kx]) cos( ) [cos( 2 1 cos cos),.... 3,2,1,(nknk?? 0] ) sin( ) sin( [2 1??????????nk xnknk xnk 高等数学电子教案武汉科技学院数理系注意:在三角函数系中,两个相同函数的乘积在区间[-π,π] ???21)1( 2???dx,....) 3,2,1(2 2 cos 1 sin )2( 2????????ndx nx dx nx??????????????????????|4 2 sin 2 12 2 cos 1 sin 2n nx dx nx dxnx我们把(2) 式进行证明: 上的积分不等于零,即,....) 3,2,1(2 2 cos 1 cos )3( 2????????ndx nx dx nx?????高等数学电子教案武汉科技学院数理系 1, 函数展开成傅立叶级数的含义:?????? 1 0) sin cos (2 )( k kk kx b kx a axf并设三角级数可逐项积分. 二函数展开成傅立叶级数若 f(x) 是周期为 2π的周期函数,且 f(x) 能展开成三角级数: 若a 0,a 1,b 1,….能表达为与 f(x) 有关的积分表达式: 高等数学电子教案武汉科技学院数理系?????? dx xfa)( 1 0,...) 3,2,1( cos )( 1????n nxdx xfa n ???,...) 3,2,1( sin )( 1????n nxdx xfb n ???高等数学电子教案武汉科技学院数理系将a 0,a 1,b 1,…代入三角级数的右端,得到????? 1 0) sin cos (2 k kk kx b kx a a则此式称为函数 f(x) a 0,a 1,b 1,…叫做 f(x ) 的傅立叶系数. 高等数学电子教案武汉科技学院数理系 a 0,a 1,b 1,…的导出:?????? 1 0) sin cos (2 )( k kk kx b kx a axf从-π到π逐项积分: ] sin cos [2 )( 1 0?????????????????????? kxdx b kxdx adx adxxf k k k由三角函数系的正交性:????????????????dxxfaa adxxf)( 122 )( 00 0 (1)a 0 : 把