第十一章无穷级数.doc

第十一章无穷级数一、学时分配: 讲课学时: 14 学时****题课学时: 2 16 课时. 二、基本内容: 无穷级数是数学分析的一个重要工具, 本章首先讨论常数项级数, 然后研究函数项级数, 最后研究把函数展开为幂级数和三角级数的问题, 我们只介绍两种最常用的级数展开式——: 1. 数项级数(1 )级数及有关概念(收敛、发散、和、余项、绝对收敛、条件收敛); (2 )级数收敛与发散的基本性质; (3 )审敛法: ①收敛与发散的定义审敛; ②依收敛与发散的基本性质审敛; ③正项级数的比较、比值及根值审敛法;④交错级数的莱布尼兹判别法;⑤任意项级数的绝对收敛与条件收敛审敛法. 2. 函数项级数(1 )幂级数: ①幂级数的概念; ②幂级数的收敛半径与收敛区间; ③幂级数的运算性质; ④求幂级数的和函数及函数展开为幂级数(泰勒级数);⑤幂级数的应用、欧拉公式. (2 )傅里叶级数: ①傅里叶级数的概念; ②三角函数的正交性、收敛定理; ③将周期为2?的函数展开成傅里叶级数; ④将[0, ] l 上的函数展成正弦级数和余弦级数; ⑤将周期为2l 的函数展开成傅里叶级数. 三、教学要求: 1. 理解无穷级数收敛、发散及和的概念,掌握无穷级数的基本性质; 2. 掌握正项级数的比较审敛法,比值审敛法及根值审敛法. 掌握交错级数的莱布尼兹审敛法. 理解绝对收敛与条件收敛的概念; 3. 掌握幂级数的收敛半径与收敛区间的求法, 掌握幂级数的加减运算及逐项积分运算并会利用这些运算求一些简单的幂级数的和函数; 4. 掌握一些常见的泰勒级数展开式(麦克劳林公式) ,并会运用这些展开式将一些简单函数展开成幂级数; 5. 了解函数展开为傅里叶级数的充分条件, 掌握将以 2?为周期的周期函数展开为傅里叶级数的方法,掌握将周期为 2l 的周期函数展开成傅里叶级数的方法. 四、重点难点: 1. 级数收敛与发散概念; 用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题. 2. 正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,交错级数的莱布尼兹判别法, 绝对收敛与条件收敛的概念. 任意项级数收敛性的判别方法. 3. 幂级数收敛域的求法,幂级数的运算. 幂级数收敛半径和收敛区间的求法,利用幂级数的运算性质求和函数. 4. 泰勒级数, 函数展开成幂级数. 函数展开成幂级数的间接方法. 5. 利用函数的幂级数的展开式进行近似计算. 近似计算中的误差估计. 6. 了解傅立叶级数的概念和狄立克雷收敛定理. 如何将函数展开为傅立叶级数. 7. 周期为 2l 周期函数的傅立叶级数,将周期为 2l 周期函数展开为傅立叶级数. 第一节常数项级数的概念和性质教学目的:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握常数项级数的基本性质及收敛的必要条件. 教学重点: 级数收敛与发散概念. 教学难点:用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性. 教学内容: 一、常数项级数的概念引例:圆的面积的近似值的计算. 圆内正多边形的面积作为圆的面积的近似值:正六边形、十二边形、二十四边形?的面积依次是 1 1 2 1 2 3 , , , , A a A a a A a a a ? ?????? 1 2 3 n A a a a a ? ?????. 1. 常数项级数的概念设已给数列?? nu :??,,,, 321nuuuu ,则由这个数列构成的表达式??????? nuuuu 321 称为(常数项)无穷级数,简称级数,记为???1n nu .即???1n nu =??????? nuuuu 321 其中 nu 叫做级数的通项或一般项. 各项都是常数的级数叫做数项级数,如???1! 1 nn ,???? 1)1( 1 nnn 等. 各项是函数的级数,称为函数项级数,如???1 2n nn x ,???12 sin n nxn?等. 2. 部分和数列作常数项级数的前 n 项的和 n nuuuuS?????? 321 ,nS : 11uS?,212uuS??,?, 3213uuuS???,??, 321n nuuuuS????? 3. 级数收敛与发散的概念定义如果级数???1n nu 的部分和数列?? nS 有极限 S ,即SS nn??? lim , 则称级数???1n nu 收敛,这时极限 S 叫做这级数的和,记为 Su n n????1 如果?? nS 没有极限,则称级数???1n nu 发散. 此时称 nnSSr??叫做级数的余项. 也是级数第 n 项以后的余项. 4. 级数与数列极限的关系级数???1n nu 与部分和数列?? nS 同时收敛