第十二节微分方程的幂级数解法.doc

第十二节微分方程的幂级数解法内容分布图示★一阶微分方程的幂级数解法★例1★例2 ★二阶齐次线性方程幂级数解法★例3★例4 ★内容小结****题 12— 12 ★返回内容要点: 一、一阶微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时, 就要寻求其它求解方法, 尤其是近似求解方法, 常用的近似求解方法有: 幂级数解法与数值解法. 问题求),(yxfdx dy?(a) 满足 0|yy xx??的特解, 其中,)()()()(),( 00001 010 00 ml imyyxxayyaxxaayxf??????????解法假设所求特解可展开为 0xx?的幂级数,)()( 202010???????xxaxxayy (b) 其中??,,,, 21naaa (b) 代入(a) 中, 得到一恒等式, 比较恒等式两端 0xx?的同次幂的系数, 就可定出常数,,, 21? aa 以这些常数为系数的幂级数(b) 在其收敛区间内就是方程(a) 满足初始条件 0|yy xx??的特解. 二、二阶齐次线性方程幂级数解法定理若方程 0)()(??????yxQyxPy 中的系数)(xP 与)(xQ 可在 RxR???内展为 x的幂级数, 则原方程必有如下的幂级数解:???? 0n nnxay . 解法设解为???? 0n nnxay ,将)(xP ,)(xQ ,)(xf 展开为 0xx?的幂级数, 比较恒等式两端x 的同次幂的系数, 确定 y. 例题选讲: 一阶微分方程的幂级数解法例1 求定解问题????????0| 0xy yxy 的幂级数解. 例2求2yxy???满足 0| 0??xy 的特解. 二阶齐次线性方程幂级数解法例3 求方程 0??????yyxy 求解勒让德(Legendre) )1(2)1( 2????????ynnyxyx (n 为常数). 勒让德( Legendre,Adrien-Maric , 1752~1833 ) 勒让德是法国数学家, 1752 年9月 18 日生于巴黎; 1833 年1月9 日卒于巴黎. 勒让德出身于一个富裕家庭, 就读于巴黎的马扎林学院。他受过科学教育, 特别是数学方面的高等教充。 1770 年 18 岁时, 通过了数学和物理方面的毕业论文答辩。 1783 年作为一名力学副研究员被选进科学院。 1785 年被提升为合作院士。 1787 年,他被科学院指派担任巴黎和格林尼治天文台联合进行的大地测量工作,并参加了皇家学会。 1794 年成为马位专科学样的纯粹数学教授。 1799 年,他继拉普拉斯之后在巴黎综合工科学术担任研究生答辩的数学考人。 1813 年,样格朗日去世,