第十章 练习题.doc

55 第十章练****题练****一一、填空题 1 、设 L 为上半圆周: x 2+y 2=R 2 ,则?? Ldsyx)( 22 =___________ 2 、设 L 是由 x=0,y=0,x=4,y=2 所围成矩形的边界,则? L xyds = 二、计算下列对弧长的曲线积分 1、? L xds ,其中 L 为由直线 y=x 及抛物线 y=x 2 所围成的整个边界。 2、?? Ldsyxx) sin ( 22 ,其中 L 是圆周: x 2+y 2=1。 3、? Ldsy2 ,其中 L 为摆线的一拱: x=a(t– sin t),y=a (1- cos t)(0 ≤t ≤2π) 56 4、? Ldsy|| ,其中 L 为右半个单位圆。 5、?? Ldsyx 2)( ,其中 L 为圆周 x 2+y 2=ax(a >0) * 三、均匀曲线弧????????tz ty tx cos sin (0 ≤t ≤2 ?) 的线密度为μ,求曲线关于 z 轴的转动惯量. 四、择题设 OM 是从 O (0,0) 到点 M (1,1) 的直线段,则与曲线积分??? L yxdseI 不相等的积分是__ (A)? 10 22dx e x ;(B)? 10 22dy e y ;(C)? 20dre r ;(D)? 102dre r 57 练****二一、填空题 1、计算???? OA xydy dxyxI)( 22 ,其中 O 为坐标原点, A 为点( 1,1 )。(1 )若 OA 为直线段 y=x ,则 I=; (2 )若 OA 为抛物线段 y=x 2 ,则 I=; (3 )若 OA 为x=0,y=1 的折线段,则 I= 2、第二类曲线积分???? Rdz Qdy Pdx 化为第一类曲线积分是_____________________ 。其中???,, 为有向曲线弧上点(x,y,z) 处的________________ 的方向角。二、计算下列对坐标的曲线积分 1、?? Ldy xdxy4 sin 4 2?,式中 L 是从点 A (-2, 0)沿4 cos xy ???到B (2,0 ) 的曲线段。 2、? L xydx ,其中 L 为圆周 x 2+y 2=2 ax(a >0) ,取逆时针方向。*3、??? L xdy ydx ,其中 L 是由点 A (0,0) 沿11???xy 经B (1,1) 到C (2,0) 的折线。 58 4、计算??? AB zdz ydy xdx , AB 是从点 A (1,1,1) 到点 B (2,3,4) 的直线段。三、设方向依 oy 轴的负方向,且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场,求质量为 m 的质点沿抛物线 21yx??,从点 A (1,0 ) 移到点 B (0,1) 时力场所作的功。四、将下列对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分:?? L xdy ydx x 2 ,L 为曲线 3xy?上从 A (-1,-1) 到B (1,1) 的一段弧。 59 练****三一、利用格林公式计算下列曲线积分 1、???? Ldyyxdxyx)()( 222 , 式中 L 是以 A (1,1) 到B (3,2) ,C (3,5) 为顶点的三角形域 D 的正向周界。 2、???? L xxdymyedx my ye) cos () sin ( ,L 为点 O (0,0) 到点 A(a ,0) 的上半圆周 x 2+y 2= ax(a >0) 二、计算 I=??? Lyx ydx xdy 22 ,L 为正向圆周 x 2+(y -1) 2=R 2(R ≠ 1) (提示:需分别讨论 0<R <1 ,R >1 的情形) 三、求变力 F ?={3 x+y,2y-x} 将质点沿椭圆 4x 2+y 2=4 的正向转动一周所做的功。 60 四、验证(y -2e 2x cos y )dx +(x +e 2x sin y )dy=du(x,y) ,并求原函数 u(x,y) 五、验证曲线积分?????)1,2()0,1( 324)4()32(dy xyxdx y xy 在整个 xoy 面内与路径无关,并计算积分值。六、利用曲线积分求星形线 x=a cos 3t,y=a sin 3t 所围面积。七、具有连续偏导数的 f(x,y) 应满足怎样的条件,才使?? L xdy ydx yxf) )(,( 与积分路径无关。 61 练****四一、填空题 1 、设∑是锥面 22yxz??被平面 z=1 所截部分,则????dsyx)( 22 = 2 、设球面 x 2+y 2+z 2=R 2 上任一点的密度与该点到原点的距离成正比,则球面的质量 m= 二、计算下列对面积的曲面积分 1、?????dszyx)3 42( ,∑是平面 1432 ??? zyx 在第一卦限部分。 2、?????ds