第十讲：线积分.doc

326 第十讲线积分课一、例题选讲: 例一、有人在计算 l xds?,其中 l为 A(0 ,a ),B 2 2 ( , ) 2 2 a a ?之间一段劣弧。解: ? AC :? 2 2 , y a x CB ? ?: 2 2 a x ? ? A 2 2 adx ds a x ? ??,故有 OC l xds?= 22 2 2 2 02 (1 ) 2 a axdx a a x ? ???,B 错误。在? CB 上,第一类线积分必须上限大于下限。原式= AC CB xds xds ?? ?=2 2 2 2 2 2 022 (1 ) 2 a a a axdx axdx a a x a x ? ??? ?? ?若将上题改为 l xdy?呢? 例二、 2 2 2 lim 1 Lnnxdx n y ????其中 L 为沿 2 y x ?从原点到 A(1,1 )的一段弧。下列解法是否正确? 2 2 2 lim 1 Lnnxdx n y ????= 2 4 2 4 2 2 lim lim 0, 0 1 1 1 L n n nx n dx n x n ????? ??? ???? ??答:错误,最后一步, ?与n 有关。正确解法: 2 2 2 lim 1 Lnnxdx n y ????=1 limarctan 2 nn????例三、设 1L 为椭圆 2 2 1 1,4 x y ? ?方向均为正向, 2L 为 2 2 1,2 x y ? ?下列解法是否正确? 1 2 2 4 L xdy ydx x y ????= 2 2 2 4 L xdy ydx x y ????= 2 2 4 2 5 5 LD xdy ydx dxdy ?? ? ?? ???答:错误。积分第一步错误! 2 2 2 2 4, x y Q P x y x y ?? ?? ?,当 2 2 0 x y ? ?时 327 Q P x y ? ??? ?, 所以与路径有关! 正确解法: 原式= 2 2 2 2 2 0 2cos 8sin 4 cos 4sin d ?? ?? ?? ?????例四、 22 2 (1 cos ) (sin cos ) C y y y y y dx x dy x x x x x ? ?????,C 由曲线 2 2 2 x y y ? ?,