第四章 傅里叶变换和系统的频域.ppt

第四章连续系统的频域分析 信号分解为正交函数 傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的频谱——傅里叶变换 傅里叶变换的性质 能量谱和功率谱 周期信号的傅里叶变换 LTI 系统的频域分析 取样定理 序列的傅里叶分析 离散傅里叶变换及其性质第四章连续系统的频域分析 信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解时域分析,以冲激函数为基本信号,任意输入信号可分解为一系列冲激函数;而 y f (t ) = h(t) * f(t) 。本章将以正弦信号和虚指数信号 e jωt为基本信号,任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。矢量 V x = ( v x1, v x2, v x3)与V y = ( v y1, v y2, v y3)正交的定义: 其内积为 0。即 0 31????i yi xi 信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中,以矢量 v x=(2,0,0)、 v y=(0,2,0)、 v z=(0,0,2) 所组成的集合就是一个正交矢量集。例如对于一个三维空间的矢量 A =(2 ,5,8),可以用一个三维正交矢量集{v x,v y,v z}分量的线性组合表示。即 A=v x + v y + 4 v z矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间, 在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号, 使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。二、信号正交与正交函数集 1. 定义: 定义在(t 1,t 2)区间的两个函数? 1 (t)和? 2 (t), 若满足?? 210d)()( 21 ttttt??(两函数的内积为 0) 则称? 1 (t)和? 2 (t) 在区间(t 1,t 2)内正交。 2. 正交函数集: 若n个函数? 1 (t),? 2 (t),…,? n (t)构成一个函数集, 当这些函数在区间(t 1,t 2)内满足???????? 21,0 ,0d)()( tti jijiK jittt??则称此函数集为在区间(t 1,t 2)的正交函数集。 3. 完备正交函数集: 如果在正交函数集{? 1 (t),? 2 (t),…,? n (t)} 之外, 不存在函数φ(t)( ≠0)满足则称此函数集为完备正交函数集。例如:三角函数集{1, cos(n Ωt), sin(n Ω t), n=1,2, …} 和虚指数函数集{e jnΩt, n=0 ,±1,±2,…}是两组典型的在区间(t 0,t 0 +T)(T=2 π/Ω)上的完备正交函数集。?? 210d)()( tt ittt??( i =1 ,2,…, n) 三、信号的正交分解设有 n个函数? 1 (t),? 2 (t),…,? n (t)在区间(t 1,t 2) 构成一个正交函数空间。将任一函数 f(t) 用这 n个正交函数的线性组合来近似,可表示为 f(t) ≈C 1? 1 + C 2? 2+…+ C n? n 如何选择各系数 C j使 f(t) 与近似函数之间误差在区间(t 1,t 2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差为 ttCtftt tt nj jjd])()([ 1 2121 12 2????????为使上式最小 0d )]()([ 211 2 2?????????? tt nj jj ??展开上式中的被积函数,并求导。上式中只有两项不为0,写为?????? 210d )]()()(2[ 22 tt ??即????? 21 210d)(2d)()(2 2 tt ii tt ittCtttf??所以系数????? 21 21 21d)()( 1d)( d)()( 2 tt ii tt i tt iitttfKtt tttfC???代入,得最小均方误差(推导过程见教材) ?????????????????????????????????????? 21 21 21 21 2111 22 212 21 12 2 1 2 212 2 )()(2)()( 1 )()( 1 0]d)([ 1tt nj tt nj tt jjjj tt nj jj nj jj tt dtttfC dttC dttftt dttCtftt KCttftt ?????????? 21 21 21d)()( 1d)( d)()( 2 tt jj tt j tt jjtttfKtt tttfC???考虑到: ????? 1 2 2 21d)( j jj ttKCttf在用正交函数去近似 f(t