第四章 坐标变换.doc

第四章坐标变换一、学****目的通过本章的学****使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和性质;熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移轴公式、 12 学时,总结与复****3 学时. 二、重点、难点(一)教学重点:重点是点的直角坐标变换的定义和性质; (二) 教学难点:难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。 平面的仿射坐标变换 点的仿射坐标变换公式平面上给了两个放射坐标系: 1 2 [ ; , ] O e e ?????和' ' ' 1 2 [ ; , ] O e e ??????。为说话方便起见, 前一个称为旧坐标系, 简记为 I ; 后一个称为新坐标系, 简记为 II 。点M ( 或向量???)在I 中的坐标系称为它的 I 坐标(或旧坐标) ;在 II 中的坐标称为它的 II 坐标(或新坐标) 。为了研究同一点 M 的I 坐标与 II 坐标的关系,就首先要确定 I 与 II 的相对位置。设 II 的原点'0 坐标的坐标是 0 0 ( , ) x y ,设 II 的基向量'1e ???,'2e ???的I 坐标分别是 11 21 ( , ) a a , 12 22 ( , ) a a 。现在我们来求点 M 的I 坐标( , ) x y 与它的 II 坐标' ' ( , ) x y 之间的关系。因为, 图 1e ?? 0 '2e ???'1e ???'0 M ??? 2e ???图 ' ' ' ' ' ' 0 1 0 2 1 2 ' ' 0 1 0 2 11 1 21 2 21 1 22 2 1 ' ' ' ' 11 21 0 1 21 22 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , OM OO OM x e y e x e y e x e y e x a e a e y a e a e a x a y x e a x a y y e ? ?????? ?????? ??????????????? ??????????? ??????? ??????????????? ???所以?' ' 1 1 2 1 0 ' ' 2 1 2 2 0 ,. x a x a y x y a x a y y ? ??? ??() 公式() 称为平面上坐标 I 到 II 的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点 M 的I 坐标, x y 表示成它的 II 坐标' ' , x y 的一次多项式。定理 平面上点的仿射坐标变换公式() 的系数行列式不等于零,即 11 12 21 22 0. a a a a ?证明:假设() 中系数行列式为零,则由定理 知,与共线矛盾。所以结论成立。由于公式() 中的系数行列式(记为 d )不等于零,因此把() 看成' ' , x y 的方程组,可以求得唯一解: 0 12 ' 22 12 22 0 12 0 0 22 11 0 ' 21 11 21 0 11 0 22 0 1 1 ( ) () 1 1 ( ) x x a x a x a y a x a y y y a d d a x x y a x a y a x a y a y y d d ? ?? ??????????? ????????公式() 把任意一点 M 的 II 坐标' '