第四章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分.ppt

第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 1 1 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第二节对坐标的曲线积分 1对坐标的曲线积分的概念 2对坐标的曲线积分的性质 3对坐标的曲线积分的计算法 4两类曲线积分的关系第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 2 2 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一对坐标的曲线积分的概念 o x yA BL 1?nM iM 1?iM 2M 1M ix? iy? 1实例:变力沿曲线所作的功,:BAL?jyxQiyxPyxF ??),(),(),(??常力所作的功分割. ),,(, ),,(, 1111110BMyxMyxMMA nnnn??????.)()( 1jyixMM iiii???????. AB FW??方法:大化小,常代变,近似和,求极限。第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 3 3 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分近似和.]),(),([ 1???????? ni iiiiiiyQxP????取极限.]),(),([ lim 1 0????????? ni iiiiiiyQxPW?????近似值精确值( , ) ( , ) ( , ) , i i i i i i F P i Q j ? ? ????? ?? ??( , ) ( , ) . i i i i i i i W P x Q y ? ? ??? ? ???即???? ni iW W 1o x yA BL 1?nM iM 1?iM 2M 1M ),( iiF??? ix? iy?? 1 ( , ) , i i i i M M ? ???取 1 ( , ) , i i i i i W F M M ? ??? ? ??????????常代变第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 4 4 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 2. 定义. 设L为xoy 平面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧段,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,?? LyyxQxyxPd),(d),(? kkkxP?),(??? kkkyQ??),(???? nk1 0 lim ??则称此极限为函数或第二类曲线积分. 其中,,),(yxP L称为积分弧段或积分曲线. 称为被积函数, 在 L 上定义了一个有界向量函数极限)},(,),({),(yxQyxPyxF?记作),(yxF),(yxQ 第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 5 5 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分? LxyxPd),( ,),( lim 1 0????? nk kkkxP???? LyyxQd),(,),( lim 1 0????? nk kkkyQ???若?为空间曲线弧, 记称为对x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分. 若记对坐标的曲线积分也可写作},d, {d dyxs?????? LLyyxQxyxPsFd),(d),(d )},,(,),,(,),,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxF?????????zzyxRyzyxQxzyxPsFd),,(d),,(d),,(d }d,d, {d dzyxs?类似地, (称其为有向弧元素) 第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 6 6 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二对坐标的曲线积分的性质. ,)2( 2121???????? LLL Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx LLL则和分成如果把(1)?? Ldx yxPyxP )),(),(( 21?????? LLdx yxPdx yxP),(),( 21?? 1 2 ( ( , ) ( , )) L Q x y Q x y dy ? ??? 1 2 ( , ) ( , ) L L Q x y dy Q x y dy ? ?? ?? ?第二节第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分- - 7 7 - - 第十章第十章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分则线弧有向曲方向相反的是与是有向曲线弧设,