第四章 相关分析.doc

37 第四章相关分析§1 相关系数、相关矩阵及相关分析一、相关系数相关分析是研究随机变量间的关系, 它是多元分析的一个重要内容, 本章讲三方面内容: 相关系数、相关矩阵; 通径分析; 典型相关分析。本节介绍相关系数及其相关矩阵的计算方法,它是通径分析及典型相关分析等重要应用的计算基础。 1. 相关系数的概念协方差)] )( [(), cov( EY Y EX XEYX???标准协方差即相关系数)()( ), cov( YDXD YX XY?? 2. 协方差、相关系数的性质(1) ( ) ( ) ( ) 2cov( , ) , ( ) ( ) ( ) D X Y D X D Y X Y X Y D X Y D X D Y ? ? ????? ? ??独立时, (2)??????????), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( ), cov( 2121YXYXYXX YXab bY aX XYYX (3)? 1 1 } 1 ( , ) 0 , , XY XY XY P Y aX b X Y X Y X Y ??????? ????????? ??服从正态分布时,有不相关与相互独立等价 3. 相关系数的计算????????????????????? ni i ni i ni iini i ni i ni ii xyynyxnx yxnyxyyxx yyxxr 1 221 22 11 21 2 1)()( ) )(( 例1 设自变量 x 1 ,x 2与y 的观测数据如表,求相关系数。样本号 x 1x 2yx 21x 22y 2x 1x 2x 1yx 2y 111711 49177 22484 16 648 16 32 33699 36 81 18 27 54 4479 16 49 81 28 36 63 557 12 25 49 144 35 60 84 ? 15 25 45 55 151 419 90 146 240 解 38 93 .092 .16 15 26 10 15 55151 3555 53590 22 1 2 22 21 1 21 2 1 212112?????????????????????ni ni nixnxxnx xxnxxr93 .083 . 11 11 14 10 11 95419 3555 935146 22221 21 2 1 111???????????????????ynyxnx yxnyxr i niy79 .007 .19 15 95419 55151 955240 22222 22 2 1 222??????????????????ynyxnx yxnyxr niy 4. 相关系数的意义相关系数 r 表示 X与Y 间线性相关的密切程度。|r| 愈接近 0,X与Y 间线性相关程度愈小; |r| 愈大愈接近 1,X与Y 间线性相关愈密切。应注意,当 r 很小甚至等于 0 ,并不一定表示 X与Y 间不存在其它关系。 5. 相关系数的显著性检验检验方法:查《相关系数检验表》—教材附表,该表给出相关系数 r的5 %与 1 %显著值的最小值, 表上第 1 列为自由度 n-2 ,第2 列概率值 P 即为显著性水平,第3 列变量的个数M 。如 n=17,M=2, α=, (min) 606 .0,01 .0 (min), 482 .0???rr?, 就是说在α= 5 水平上,当 482 .0?r 时,才显著,在α= 水平上,当 606 .0?r 时才显著。二、相关矩阵 1. 相关矩阵的概念设有 n 个随机变量 X 1 ,X 2,…,X n ,r ij为X i与X j 的相关系数(i ,j=1,2, …, n) 则称 nn ijnn nn n nrrrr rrr rrrR ???????????????)( 21 222 21 112 11???????为相关矩阵。其中????????????????????? nk j kj nk i ki nk ji kj ki ni j kj ni i ki nk j kji ki ijxnxxnx xxnxxxxxx xxxxr 1 221 22 1 1 2 1 2 1)()( ) )(( 例2 试求例 1中X 1 ,X 2 ,Y=X 3 三个变量间的相关矩阵 R 解: 由例 1 计算结果, 得 r 11 =1,r 22 =1,r 33 =1,r 12 =,r 1y =r 13 =,r 2y =r 23 =, 且 r 21 =r 12 =,r 31 =r 13