第四章 级数7-8.ppt

1第四章级数本章主要讲述复数序列,常数项级数,复平面上的函数项级数,幂级数,罗朗级数。为何学****这一章? 原因: (1)自然规律——数理方程——积分方程,偏微分方程,微分积分方程。解方程求解,往往比较复杂,如果将函数?展开为级数,如的形式则微积分变得简单了,而边界条件往往限制了求和的项数,这样可直接得到解当然也可取前几项做为方程的近似结果这样复杂的函数的微积分变成了简单函数 x n的微积分了(2 )有些函数往往比较复杂,这有将其分解为简单函数的级数和,便于对其性质进行直观的研究。'' ' 0 ? ??? ?? n n n a x? 2 收敛序列和收敛级数: 定义:复数项级数每一项 w k=u k+iv k复数项级数的收敛问题——两个实数项级数的收敛问题 收敛序列若对任意给定的?>0,总存在正整数 N,当 n>N 时, 成立则称复数序列收敛于复数 Z,记为也称 z为z n在时候的极限否则称是发散的。第四章级数 1 2 1 k k k w w w w ??? ????? ? 1 1 1 k k k k k k w u i v ? ??? ??? ?? ?? n z z ?? ??? nz?? nzn ???? nz lim nn z z ???3 第四章级数 收敛级数称为级数和复数项级数收敛的充要条件【一】柯西收敛判据对于任一给定的小正整数?>0,必有 N存在,使得当 n>N 时, 式中 p为任意正整数则称此级数是收敛的,即【二】绝对收敛复数项级数各项的模组成的级数收敛叫绝对收敛原因: 1 N N n n s w ??? 1 lim N p n n Nw??? ?? 1 N N n n s w ??? 2 2 1 1 n n n n n w u v ? ?? ?? ?? ? 1 2 1 2 z z z z ? ?? 4 第四章级数【三】函数项级数其余各项都是 z的函数如果在某个区域 B上的所有点,级数都收敛叫在区域 B上收敛表述: 如果 N跟z无关,就把级数叫做在B上一致收敛如收敛叫区域 B上绝对一致收敛 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k w z w z w z w z ??? ????? ? 1 lim ( ) , ( ( ) ) N p n n N w z n N z z B ??? ?? ?? 1 lim ( ) nn w z ?? B5 幂级数: 【概念】:如果级数各项都是幂级数,即这样的级数叫做以 z 0为中心的幂级数【收敛问题】(1)达朗贝尔判别法则收敛即( 1)式绝对收敛引入记号就可说如则幂级数( 1)绝对收敛第四章级数 0 0 0 ( ) , (1) k k k k a z z z a ????都是复常数 0 z z R ? ? 1 1 0 10 k0 lim lim 1 kkkkkk k a z z a z z a a z z ????? ???? ??? 00 ( ) kkn a z z ???? 1 lim kkkaRa ???? 6 第四章级数(2) 收敛半径由上式可知,以 z 0 为圆心, R 为半径做一个圆, 则幂级数在圆内部绝对收敛,圆外发散,这个圆叫做幂级数的收敛圆, R就叫收敛半径至于收敛圆上( R=1)各点,幂级数是否收敛,需要根据具体情况判断。(3)根式判别法如则( 1)式绝对收敛此时结论:幂级数在收敛圆内部不仅绝对而且一致收敛证明: R 1是圆内任一点 0 lim 1 kkkk a z z ??? ? 1 lim kkkRa ??? 1 1 1 1 1 1 11 lim lim 1 k k k k k k k k a R a R R a R a R ?