第四章 随机变量的数字特征.ppt

第四章随机变量的数字特征管理统计学讨论随机变量的数字特征的意义前面讨论了随机变量的分布函数,我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性。但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的变化情况,而只需知道随机变量的某些特征,因而并不需要求出它的分布函数。例如,在评定某一地区粮食产量的水平时,在许多场合只要知道该地区的平均产量;又如在研究水稻品种优劣时,时常是关心稻穗的平均稻谷粒数;再如检查一批棉花的质量时,既需要注意纤维的平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度,平均长度较大、偏离程度较小,质量就较好。从上面的例子看到,与随机变量有关的某些数值,虽然不能完整地描述随机变量,但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义。下面将介绍随机变量的常用数字特征: 数学期望、方差、相关系数和矩.§1 数学期望例:有甲、乙两个射手,他们的射击技术用下表表出: 甲射手击中环数 8910 概率 乙射手击中环数 8910 概率 试问哪个射手本领较好? 解:设两个选手各射 N枪,则有甲: 8× N+9× N+10× N = N 乙: 8× N+9× N+10× N = N 平均甲射中 环,乙射中 环,因此甲射手的本领好些。离散型随机变量的数学期望定义:设离散型随机变量 X的分布率为{ } , 1, 2, k k P X x p k ? ??? 1 k k k x p ??? 1 k k k x p ??? 1 ( ) k k k E X x p ????若级数绝对收敛,则称变量 X的数学期望(或均值),记为 E(X)。即的和为随机例1:求二项分布的数学期望。{ } , 0,1, 2, , k k n k n P X k C p q k n ?? ? ?? 0 0 n n k k n k k n k k kp kC p q ?? ??? ?解:1 ( ) n np p q np ?? ?? 1 1 11 n k k n k nk np C p q ? ?????? 1 n k k n k nk kC p q ???? 1 ( 1) 101 n m m n m nm m k np C p q ?? ???? ??令 1122 ( 1) ( 1) k k n n knn C C k n n C k k ????? ??? ?? ??? ??? ??? ?例2:求泊松分布的数学期望。?,2,1,0,! ???kek p kk ?? 1 0 1 1 ! ( 1)! k k k k k k kp k e e k k ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ?解:0! mmem ????? ??? ?? ?? 01! m m m k e m ??????? ??令 e e ? ?? ??? ??例3:随机变量 X取值求数学期望。 k k kkkp kk x2 1 ,2,1, 2)1(????对应的概率为?的数学期望不存在。因此但由于因此它是概率分布,且解:由于 X k px k px ppk k kk k k k kk k k k????????????????????????1 1 1 1 11 2 ln 1)1( ,1,0****题 1. (1) 在下列句子中随机地取一单词,以X表示所取的单所含的字母个数,写出 X的分布律,并求 E(X ). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2) 在上述句子的 30个字母中随机地取一字母,以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出 Y的分布律,并求 E(Y ). 解: (1) 依题意,X的