第四章-曲线坐标系下张量分析.doc

76 第四章:曲线坐标系张量分析张量场函数: ??? T f r 在空间中每一点定义一个张量 T 曲线坐标系回顾: 笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 1 2 3 1 2 3 x x x ? ?? r e e e ix 坐标线:只变化一个坐标 ix 时,矢径的轨迹。直线坐标系下,坐标线都是直线。当?? i i 1 2 3 x x , , ? ???, 1?, 2?, 3?坐标线中至少有一个是曲线时,称为曲线坐标系协变基: ii???? rg 所以: k i k ix???? g e ' ' ' k i i i i i k i ix ?? ??? ???????? egg jjmmx ???? g e ' ' ' j j jj jmmj jx ????? ??? ??? ?? g e g 原因: k j m j jjm m ii j i i i k mxxx x ??? ??? ? ???? ??? ????????? eegg 曲线坐标系中, 基矢量是曲线坐标的函数基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量,因而可以用基矢量的线性组合表示: j k k ij k ij,k i??? ???? g g g 其中组合系数 k ij?称为第二类 Christoffel 符号 ij,k?称为第一类 Christoffel 符号 Christoffel 符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上: j k k iji?? ? ??? gg j ij,k k i?? ???? gg 77 1 指标对称性第二类 Christoffe l 符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量( 第二个协变指标) 对哪一个曲线坐标(第一个协变指标)求导数。然而,根据协变基矢量的定义: jj???? rg 可得: 2j k k k ii k k ij ji i j j ?? ?? ???????? ???????? g r g g g g 2ji k k k i i j ij,k ji, j k?? ?? ???????? ????? ??? g r g g g g 说明 Christoffel 符号相对它的前两个协变指标是对称的。②不是张量在直线坐标系中, 由于基矢量不随坐标而改变, 所以第二类 Christoffel 符号全部为零。如果它是张量,它在任意坐标系中都应是零。 2 两类 Christoffel 符号之间的联系由于 Christoffel 符号的第三个指标是矢量的分量指标, 所以可以通过度量张量进行升降。 k j j k k km km ij m ij,m i i j j m m ij,k km km ij i i g g g g ? ?? ? ???????