第四章基本方程(1,2).ppt

第四章平面问题的极坐标解答§ P xy oyx ρφ平面上任一点 P:直角坐标 P(x,y )极坐标极径ρ, 极角φ,P(ρ,φ) ????????? sin cos y xx yyx arctg , 222?????求解平面问题时,对于圆,楔,扇型构件, 因为极坐标使其边界与坐标线一致,因而使边界条件简单,使问题易于求解。,体力分量的表示研究构件在极坐标中的应力状态:取一微元体[用一对ρ坐标线和一对φ坐标线] 记号:应力分量???(剪应力) ?φ?φρ?φ?φρ其符号规定与直角坐标系情况类同。?ρf ρf φ?ρφ?ρ?ρφφdφ0 ?xy ( 2-2 )得到,为了较深对积坐标下的应力应变的理解这里仍旧单元体的平衡推导。??φ?????d????φ????d????φρ?????d????ρ????d????φρ?φf ρf φ?ρ?ρφφdφ0 ?xPB AC 取微分单元体研究???????????d)d(CA d PBAC ????BP厚度为1,体力(,) ?f ?f ???方向在方向在???????产生附加影响??0 ?F由0dd2 d cos d2 d cos d)d(2 d sin 2 d sin d)d(dd)d )(d( ????????????????????????????????????????????????????????????? f d注2)微小?d2 d2 d sin ???12 d cos ??注1) PB AC , PA BC ????φ?????d????φ????d????φρ?????d????ρ????d????φρ?φf ρf φ?ρ?ρφφdφ0 ?xPB AC 整理,略去高一阶小量,除以???dd , 利用剪应力互等定理0???????????????????????f0???????????????????????f0 2?????????????????????f( ) 亦可利用??0 CM 可证明???????(剪应力互等定理)§ 极坐标中的几何方程及物理方程一、极坐标中的应变分量与位移分量: 1、应变分量: 向正应变) 径向线段的正应变(径?),(????2、位移分量环向位移径向位移????u u 向正应变) 环向线段的正应变(环(?),????) ), 直角的改变(剪应变径向和环向两线段之间(??????二. 几何方程(1)位移分两步欲研究平面弹性体在极坐标下的变形,选取径向线段 PA=d ρ,研究。??dBP??第一步: PA, PB 只有径向位移(不考虑环向位移) PA P ′A′, PB P ′B′ u ρ A' B'y A dρ P φ0 x dφρ p'B????d??? uu????d??? uu 各点坐标为)d,( ),,d( ),,(??????????BAP各点位移列表????d??? uu ????d??? uu ?u000 点径向位移环向位移 PAB 由径向位移产生的应变分量: 径向线 PA 的正应变: PA PP AA PA PA AP''''??????????????????????????? u u uud (a) 环向 PB 的正应变: PB PB BP PB PB BP????? 1''' ?? u ρ A' A dρ Py φ0 x dφρ B' p'B????d??? uu????d??? uu (b) ???????????uu?????d dd)( 径向 PA 的转角: 0??(c) 环向线 PB 的转角: ????????d )d('' u uu PB PP BB ?????????????? u (d) 故剪应变: ???????????? u (e) β u ρ A' A dρ Py φ0 x dφρ B' p'B????d??? uu u φ第二步:在第一步的基础上: PA , PB 只有环向移(不考虑径向位移) ?uPPP??????径向线 P’A’线应变: 0'' ''''''?????AP APAP ??(f) A 2P''A'' B '' A 1????d??? uu ?????d??? uu000 ????d??? uu ????d??? uu ?u φA' P' B' dφo xy ?d ????d????????? uuAAA????d????????? uuBBBP ?点径向位移环向位移 A ?B ?