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绪论绪论数值分析一、数值分析的研究内容数值分析,又称为计算方法,是现代数学的重要分数值分析,又称为计算方法,是现代数学的重要分支。然而它又是一门古典的数学分支,主要用于近似计支。然而它又是一门古典的数学分支,主要用于近似计算求近似值。如: 算求近似值。如: ! ...!2 1 2n xxxe n x?????实际上,以前的简单数学用表如平方表、开方表, 实际上,以前的简单数学用表如平方表、开方表, 三角函数表,以及现在计算机中的函数计算、所有程序三角函数表,以及现在计算机中的函数计算、所有程序中的基本函数的计算,都是用此方法(包括计算器)。中的基本函数的计算,都是用此方法(包括计算器)。求求 e e x x 的近似值。的近似值。 1. : :对任意的对任意的 x x, , e e x x的计算相当困的计算相当困难,因此常用: 难,因此常用: 2. 求方程近似解 012 3???xx 例如对方程: 迭代法:将上述方程化为等价形式: 迭代法:将上述方程化为等价形式: 32 1?? xx 312 1: ??? kkxx 构成迭代格式 79 . 1:0 331 0????xx可得取 994 .0 982 . 964 .0 895 .0 33 32????x x 可以某一较大的可以某一较大的 k k对应的对应的 x x k k作为方程根的近似值,显然作为方程根的近似值,显然当当k k→→∞∞时, 时, x x k k→→1 1为准确根。三次,四次方程的求解可类为准确根。三次,四次方程的求解可类似设计算法求解。似设计算法求解。求准确解较难,可设计算法,求近似解。求准确解较难,可设计算法,求近似解。数值分析的研究内容(续数值分析的研究内容(续 1 1) ) 3. 求微分近似值, )()()(h xyhxyxy ????可计算: 进而可求微分方程近似解进而可求微分方程近似解, ,求积分近似值等。求积分近似值等。 4. 4. 节省计算量,提高计算速度节省计算量,提高计算速度: : 如要计算多项式: 如要计算多项式: 65432 234????xxxx若先算各项然后相加,需做十次乘法运算和四次加法运算。若先算各项然后相加,需做十次乘法运算和四次加法运算。 6)5)4)32 ((( :????xxxx 但如果改为则只需做四次乘法和四次加法(节省计算量问题后面还则只需做四次乘法和四次加法(节省计算量问题后面还会谈到)。会谈到)。数值分析的研究内容(续数值分析的研究内容(续 2 2) ) 关于节省计算量,提高计算速度,一般情况下,设: 关于节省计算量,提高计算速度,一般情况下,设: n nn nnaxaxaxaxP???????1 110)(?若要计算若要计算 p p( (x x )| )| x= x= αα, ,可用如下的递推公式计算: 可用如下的递推公式计算: nkbp bab ab n kkk,..., 2,1 )( 1 00?????????????这实际上是秦九韶算法,我国古代这实际上是秦九韶算法,我国古代祖冲之,秦九韶祖冲之,秦九韶(宋代),杨辉(宋代),杨辉等在计算方面都作出了相当大的贡献, 等在计算方面都作出了相当大的贡献, 国外称此算法为国外称此算法为 Hornor Hornor 算法算法,比,比秦九韵算法秦九韵算法至少晚五个至少晚五个世纪,秦九韶是四川安岳县人, 世纪,秦九韶是四川安岳县人, 2000 2000 年年8 8月月报道在安岳为他塑像建馆。报道在安岳为他塑像建馆。数值分析的研究内容(续 3) 数值分析数值分析的发展及重要性随着科学技术的发展,提出了大量复杂的数值计算问随着科学技术的发展,提出了大量复杂的数值计算问题,在实际解决这些计算问题的长期过程中,形成了计算题,在实际解决这些计算问题的长期过程中,形成了计算方法这门学科,专门研究各种数学问题的数值解法(近似方法这门学科,专门研究各种数学问题的数值解法(近似解法),包括方法的构造和求解过程的误差分析,是一门解法),包括方法的构造和求解过程的误差分析,是一门内容丰富,有自身理论体系的实用性很强的学科。内容丰富,有自身理论体系的实用性很强的学科。在生产和科学研究中遇到的大量复杂计算问题不是在生产和科学研究中遇到的大量复杂计算问题不是人工手算(如以前的算盘,计算尺及计算器等简单的计算人工手算(如以前的算盘,计算尺及计算器等简单的计算工具)所能胜任的,如求解由几十个方程构成的线性方程工具)所能胜任的,如求解由几十个方程构成的线性方程组等。组等。上述几个简单的数学问题要得到精确解是很困难甚至上述几个简单的数学问题要得到精确解是很困难甚至是不可能的,很多类似的问题都只能利用计算方法求其近是不可能的,很多类似的问题都只