1第一节 中值定理.doc

1****题 3-1 1 . 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件?如满足,请求出满足定理的数值?. (1) 2 ( ) 2 3 f x x x ? ??, [ ] 1, ?; (2) ( ) 3 f x x x ? ?,[ 0, 3 ] . 解: (1) 因为 2 ( ) 2 3 f x x x ? ??是多项式函数,所以( ) f x 在[ ] 1, ?上连续,在( 1,) ?内可导,且( 1) 0 f ? ?, ( 0 )f?, 所以函数( ) f x 在[ ] 1, ?上满足罗尔定理的所有条件. 解方程( ) 4 1 0 f ? ??? ??,得1 1,1. ( 5)4 ?? ??. (2) 因为( ) 3 f x x x ? ?,所以( ) f x 在[ 0, 3 ] 上连续,在(0, 3) 内可导,且(0) 0 f?, ( 0 3)f?,所以函数( ) f x 在[ 0, 3 ] 上满足罗尔定理的所有条件. 解方程( ) 3 0 2 3 f ?? ???? ????,得 2 (0, 3) ?? ?.2 . 验证拉格朗日中值定理对函数 3 2 ( ) 4 5 2 f x x x x ? ???在区间[ 0,1 ] 上的正确性. 解:验证定理,包括验证定理条件与结论两部分. 因为 3 2 ( ) 4 5 2 f x x x x ? ???是多项式函数, 所以( ) f x 在[ 0,1 ] 上连续,在(0,1) 内可导,且 2 ( ) 12 10 1 f x x x ?? ??,解方程(1) (0) 0 1 0 f f ???? 2 ( ) 12 10 1 f ? ???? ??, 得(5 13) / 2 (0,1) ?? ? ?. . 试证明对函数 2 ( ) f x px qx r ? ??应用拉格朗日中值定理时所求得的点?总是位于区间的正中间. 证明:设 2 ( ) f x px qx r ? ??在[ ] , a b 上连续,在( ) , a b 内可导,则由拉格朗日中值定理,至少存在一点( , ) a b ??,使得( ) ( ) (2 )( ) f b f a p q b a ?? ???, 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a pb qb r pa qa r ? ??????( )( ) ( ) p b a b a q b a ? ????, 2 所以, (2 )( ) p q b a ?? ?( )( ) ( ) p b a b a q b a ? ????, 又因为 0 b a ? ?,所以 2 p q ??( ) p b a q ? ??,故2 a b ???.4 . 一位货车司