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第二章一元函数的导数与微分本章主题词:瞬时速度、切线斜率导数、微分在大多数科学中,一代人打倒另一代人已经建立起来的东西,一代人已经证实的东西另一代人则加以推翻, 只有在数学上才是每一代人都更上一层楼。 (美国数学家) 第二章一元函数的导数与微分 导数的概念 导数的计算 高阶导数 几种特殊类型函数的求导方法 函数的微分与线性逼近选读:导数在经济分析中的应用( 1) 数学家:牛顿莱布尼茨 0tt?t 设一物体自由下落的距离是时间的函数,2 1)( 2gtxss??, 0 时刻的瞬时速度求t 导数的概念 导数概念的背景如图, ],,[ ],,[ 00 00 0ttt tttt????或的时间间隔取一邻近于,t?运动时间为 t sv???平均速度 t tstts?????)()( 0 00tt? tt?? 0 t gtttg????? 20 202 1)(2 1t tttttg???????])(2[2 1 20 20 200tt?t 瞬时速度. 0gt? t tstts t???)()( lim v 0 00????.v 0gt?瞬时速度 t)2 1 (t lim )()( lim t s lim v 00 0 00 0?????????????????g t tstts t tt 瞬时速度. 0gt?,,0 0 时) (即时当ttt???取极限得).2 1( 0ttg???t tttg?????])(2[2 1 ——切线位置播放播放?? T 0x x ox y)(xfy?C NM 如图,如果割线 MN 绕点 M旋转而趋向极限位置 MT, 直线 MT 就称为曲线 C在点 ,0??? NMT MN ).,( ),,( 00yxNyxM设的斜率为割线 MN 0 0 tan xx yy????, )()( 0 0xx xfxf??? 0,, 0???????xxxM N C?沿曲线的斜率为切线 MT . )()( lim tan 0 00x xfxxfk x?????????切线: 设有曲线 C及C上的一点 M,在点 M外另取 C上一点 N,作割线 MN 。当N沿曲线 C趋于点 M时,如果割线 MN 绕点 M旋转而趋于极限位置 MT ,直线 MT 就称为曲线 C在点 M处的切线。 0 00 0)()( tanxx xfxfxx yy???????kxx xfxf xx?????0 0)()( lim tan 0?为切线的 MT 的斜率为割线的 MN 的斜率 导数的定义,,)( ,)( ,0 );()( ,) ( , )(0 0 0 0 0 0 0 0xxy xxfy xxfy xx yxfxxfy y xx x xx xxfy??????????记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果得改变量取相应地函数时仍在该邻域内点处取得改变量在当自变量有定义的某个邻域内在点设函数???????定义, )( 00xxxxdx xdfdx dy ??或)( 0xf ?. )()( lim )( 000 0h xfhxfxf h?????其它形式. )()( lim )( 0 00 0xx xfxfxf xx?????x xfxxfx yy xx xx??????????????)()( lim lim 0000 0, )( 00xxxxdx xdfdx dy ??或即. )()( lim )( 0 0 0 0xx xfxfxy xx?????. )0()( lim )0( 0x fxff x???? 0xxx???即 xxx??? 0令 00xxx???时,