有限差分.docx

期权定价的有限差分方法及 MATLAB 实验实验目的、实验原理、实验工具、实验程序、实验结论、误差修正。实验原理: Black-Scholes 的期权价格微分方程为: f 有限差分期权定价的主要思想是, 应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程转化为一系列近似的差分方程, 即用离散算子逼近、和各项, 这样得到衍生产品价格的线性方程组, 通过求解这个方程组,可以得到衍生产品价格的数值解。一. 隐性有限差分法(一) 的近似期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示:、和. 。这三种逼近方法分别称为向上差分近似、向下差分近似和中心差分近似。这三种方法是针对时刻进行的差分近似, 只是的取值方向不同,中心差分实际上是前两者的平均值。向上和向下差分近似的误差均为的高阶小项,而中心差分的误差则为,精确度更高。(二) 的近似采取向前差分近似以使时刻的值和时刻值相关联: 这一近似误差是,可以进一步改进。但在这里,这样的精确度已经足够了。(三) 的近似期权价值对标的资产价格的二阶差分为: 这个二阶差分也是中心差分,其误差为。从以上的三个近似可以发现,除了对时间的差分涉及时刻和时刻的期权值,对资产价格 s 的一阶导和二阶导差分都只用了时刻的不同期权值(四) 差分方程把以上三个近似代入偏微分方程,整理得到(1) 其中 I =0,1, …,N-1,j=0,1, … M-1 从公式(1) 可以看出 1 j j j a b c r t ? ????。这说明, i t ?时刻相邻三个节点的期权价值风险中性期望值的终值等于下一时刻中间节点的期权价值。(五) 边界条件第一, 从到期时刻的期权回报值可以得到边界 t T ?上所有的格点的期权价值。T 时刻看跌期权的价值为其中 ST=j ΔS, j=0 ,1,…M。第二, 当股票价格为零时, 看跌期权的价值为 X, 由此可以得到边界 S=0 上所有格点的期权价值第三, 当股票价格趋于无穷时, 看跌期权的价值趋于零。可以近似认为上方边界 max s s ?上(六) 求解期权价值利用方程( 1 )和边界条件可以写出( 1) N t ? ?时刻的 1M?个联立方程 1, 1 1, 1, 1 , j N j j N j j N j N j a f b f c f f ? ? ???? ?? 1,..., 1 j M ? ?和0j?时 1,0 N f X ?? j M ?时 1,0 N M f ??求解出每个 1, N j f ?的期权价值, 然后再与每个格点的期权内在价值 X j S ? ?进行比较, 判断是否要提前执行, 从而得到( 1) N t ? ?时刻的每个格点的期权价值。以此类推, 最后可以计算出 0,jf ,当 j S ?等于初始资产价格时,该格点对应的 f 就是要求的期权价值。实验程序案例 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为 50 元,波动率为每年 40% ,无风险连续复利年利率为 10% ,该股票 5 个月期的美式看跌期权协议价格为 50 元,求该期权的价值。计算程序为: s0=50;k=50;T=5/12;sigma=;r=