2-2大学高数历年期末试题.doc

1 2010-2011 年一. 填空题(共4 小题,每小题 4 分,共计 16分) 1. 2 2 (1,0) ln( ), y z xe x y dz ? ???设则 2 .设 xyyxyxf sin ),(???,则dxxxfdy y?? 110),( = 3. 设函数 2 1 cos , 0 ( ) 1, 0 xx f x x x x ?????? ??????? ????以2?为周期, ( ) s x 为的( ) f x 的傅里叶级数的和函数,则( 3 ) s?? ?. 4. 设曲线 C 为圆周 222Ryx??, 则曲线积分 dsxyx C??) —(3 22= 二. 选择题(共 4 小题,每小题 4 分,共计 16 分) 1. 设直线 L 为 3 2 0 2 10 3 0, x y z x y z ? ????? ????平面?为 4 2 2 0 x y z ? ???,则(). (A)L 平行于平面?(B)L 在平面?上(C)L 垂直于平面?(D)L 与?相交,但不垂直 2 .设有空间区域 2 2 2 2 : x y z R ? ???,则 2 2 2 x y z dv ?? ????等于(). (A) 43 2R ?(B) 4R?(C) 43 4R ?(D) 42R? 3 .下列级数中,收敛的级数是( ). (A)????? 1)1 ()1( n nnn n (B)?????? 11 )1( n nn n (C) nnen ???? 1 3 (D)???? 1) 11 ln( n nnn ???1n na 是正项级数,则下列结论中错误的是( ) (A)若???1n na 收敛,则???1 2n na 也收敛(B )若???1n na 收敛,则 11 ???? nn naa 也收敛(C )若???1n na 收敛,则部分和 nS 有界(D )若???1n na 收敛,则 1 lim 1?????? n nna a 2 三. 计算题(共 8 小题,每小题 8 分,共计 64 分) 1 .设函数 f 具有二阶连续偏导数, ),( 2yxyxfu??,求yx u??? 2. 2. 求函数 yx xyz??? 23 在曲线 1 2??xy 上点( 1,2 )处, 沿着曲线在该点偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数. 解: 3 .计算,)( 2 dxdy yx D ???其中}4),({ 22???yxyxD .3 4. 设立体?由锥面 2 2 z x y ? ?及半球面 2 2 1 1 z x y ? ???围成. 已知?上任一点??, , x y z 处的密度与该点到 x y o 平面的距离成正比(比例系数为 0K?) ,试求立体?的质量. 6. 计算第二类曲面积分????? dxdy zx xydxdz xyzdydz 2 ,其中?为球面 1 222???zyx 的外侧. 7 .求幂级数 nnxn???? 11 1 的和函数。 4 四. 证明题(本题 4 分) 证明下列不等式成立: ???? D x y dxdy e e ,其中}1|), {(D 22???yxyx . 五. 证明题( 本题 8分) 设有一小山, 取它的底面所在平面为 xoy 坐标面, 其底部所占的区域为},75 :), {( 22???? xyyxyxD ),( 22 xyyxyxh????(1)设),( 00yxM 为区域 D 上一点,问),(yxh 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),( 00yxg ,试写出),( 00yxg 的表达式。(2 )现欲利用此小山举行攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说,要在 D 的边界线 75 22??? xyyx 上找使( 1 )中的),(yxg 达到最大值的点,试确定攀登起点的位置。 5 2009-2010 年一、填空题(每小题 5 分,满分 30 分) 1. 若向量???cba,, 两两互相垂直, 且 5, 12, 13 a b c ? ? ?? ? ?和, 则??????cba . 2. 设函数 22 sin y z xy x ?,求 z z x y x y ? ?? ?? ?. 3. 设函数( , ) f x y 为连续函数, 改变下列二次积分的积分顺序: 1 2 0 ( , ) yy dy f