2-4循环群.ppt

2017-2-20 2:48 近世代数近世代数第二章群论§ 4 循环群 2017-2-20 2:48 循环群是已经研究清楚的群之一,就是说,这种群的元素表达方式和运算规则,以及在同构意义下这种群的数量和它们子群的状况等,都完全研究清楚了. 2017-2-20 2:48 , { / } i G a G a i Z ? ?下面看这样一种群,它只包含某一个固定元的所有乘方即。G首先证明这样的是一个群。 0 ( ) (1) (2) ( ) ( ) (3) (4) i j i j i j k i j k i j k i i a a a G a a a a a a a e a a a e ?? ??? ?? ???这样的群是否存在呢? 2017-2-20 2:48 一、存在性定义若群 G中每个元都能表示成某个固定元 a 的乘方,就称群 G为循环群, 也称群 G为由元 a 生成的群,记为 G=(a),称 a是G的一个生成元. 例1 整数加群 Z是无限阶循环群(所有整数 n是 1的乘方) m 1 , 1 1 1 1 m Z m ? ??????????? ?, m m 1 m m m ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 ? ?? ???????????????????????()(), (1) Z ? ? 1 1 1 1 1 ?? ??注意:这里是的逆元,即 0 0 , 0 1 n ? ?当时是整数加群的单位元,依前面的约定 2017-2-20 2:48 nU nU?? 1?? 2 { , , , 1} nnU ?? ?? ??例2 n次单位根乘群是 n 阶循环群( n >1) ,但,则( n > 1 ) 取( ) nU?? 2 1 0 1 2 { ,10 ,10 ,10 ,10 ,10 , } 10 , (10) GG ? ???? ?例:设关于数的普通乘法作成一个群,是它的生成元。 2017-2-20 2:48 ([1]) n n Z n ?例:模的剩余类加群,是阶循环群:[0],[1], ,[ 1] Z n n ??整数集合被分成了类{[0],[1], ,[ 1]} n n Z n Z n ? ??????是模的剩余类" " [ ] [ ] [ ] n Z a b a b ? ???在中规定: " " nZ?对于所给运算作成群(1)[ ] [ ] [ ] n a b a b Z ? ???(2)[ ] ([ ] [ ]) ([ ] [ ]) [ ] a b c a b c ? ????(3)[0] [ ] [0 ], [0] n a a Z ? ??即是的单位元(4)[ ] [ ] [ ] [0], [ ]