2-4极限存在准则,两个重要极限09[1].09.26.ppt

二、两个重要极限一、极限存在的两个准则第六节极限存在准则与两个重要极限第一章azy nn nn?????? lim lim )2( 准则 1(夹逼准则)),2,1()1(????nzxy nnnax nn??? lim ???证由条件(2) ,,0???,N 1 ???N 当1Nn?时,???ay n 当2Nn?时,???az n,N 2 ??N 如果数列?????? nnnzyx,, 满足一、极限存在的两个准则令??,, max 21NNN?则当 Nn?时, 有,??????aya n,??????aza n 由条件(1) ,得 nnnzxy?????a ???a 即,???ax n 故. lim ax nn???注1°利用夹逼准则求数列极限的关键:构造 y n, z n. ②. lim lim azy nn nn??????要求: ①y n, z n的极限易求; 例1 证明1) 12 11( lim 222????????????nnnn n n?证) 12 11( 222???nnnn n??????????nn n 2 2??? 2 2n n 而?nn n n??? 2 2 lim , 1????? 2 2 lim n n n1?n n?? lim ) 12 11( 222???nnnn????????由夹逼准则,得准则Ⅰ?,),( (1) 0时当?xUx ??Axhxg xxxx????)( lim )( lim 00,)()(xhxg??)(xf.)( lim 0Axf xx??)0(??Xx)(?? x )(?? x (2) 设函数 f(x ), g(x ), h(x ) 满足:)(?? x 1°数列极限的夹逼准则可以推广到函数的极限: 例2. ][ 2 lim 0 最大整数的是不超过,其中求xxx x x???????解)0( 221 2??????????xxxx ?时, 当01?x ?)0(2 22??????????xx xx2)2( lim 0????x x?=2 lim 0 ?? x ∴由夹逼准则, 2 lim 0?????????x x x 时, 当02?x ?)0( 221 2??????????xxxx )0(2 22??????????xx xx 同理, 由夹逼准则得2 2 lim 0?????????x x 2 lim 0????????x x x故Axfxf Axf xx???????)()( )( lim 00 0 xxxx nn????????? 121mxxxx nn????????? 121)( lim Max nn????)( lim mbx nn???? nx 1?nxM 1x 2x x m nx 1?nx 1x 2x x a b 准则Ⅱ(单调有界准则)如果数列?? nx 满足( 证明略) (单调增加有上界)(单调减少有下界) 证例3 极限存在. 的式) 重根证明数列 nx n(333????? 1°单调性 12333xx????假定:1-kkxx?,则 kkkkxxxx???????1133 ∴, 1nnxx??.}{ 是单调增加即 nx 2°有界性,33 1??x?,3:? kx 假定 kkxx???3 1则33??.}{ 有上界 nx? 3?学会用数学归纳法证明{x n}的单调性和有界性.,3 1nnxx????,3 21nnxx???),3( lim lim 21nn nnxx???????,3 2AA??是单调增加且有上界}{ nx?存在, nnx ??? lim . lim Ax nn???令. lim 3Ax nn???求?03 2???AA即2 13 1,2 13 1????AA 解得(舍去).2 13 1 lim ????? nnx 0 lim 03 1????????Ax xx nn n?