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§ 2-6 动能定理 1. 功的概念 1. 功的概念功是表示力对空间累积效应的物理量。物体在力的作用下发生一无限小的位移( 位移元)时, 此力对它做的功定义为: 力在力的位移上的投影和此位移元大小的乘积。 F ?r ?dr ?d) cos (d?FA?其中?为力与位移的夹角。可以把上式写成两个矢量的标积 rF ??dd??A 功是标量,没有方向,但有正负。当0??<?/2时, dA >0 ,力对物体做正功。当??=?/2时, dA =0 ,力对物体不做功。当?/2??<?时, dA <0 ,力对物体做负功。功率:力在单位时间内做的功,用 P 表示 t APd d?td drF ???? vF ????功率是反映力做功快慢的物理量。功率越大, 做同样的功花费的时间就越少。在国际单位制中,功的单位是 N ?m,叫做焦(J) , 功率的单位是 J/s ,叫做 W(瓦)。动能定理 2. 牛顿第二定律的又一积分形式 2. 牛顿第二定律的又一积分形式(1) 变力的功 b a 物体在变力的作用下从 a运动到 b。怎样计算这个力的功呢? 采用微元分割法动能定理 i ir F?????iAΔ??????i ir F ii i abA A??Δ第 i 段近似功: 总功近似: 第2段近似功: 第1段近似功: 222rFA ?????? 111rFA ?????????????????? 1F ? 2F ? 3F ? iF ? 4F ?b a 3r ?Δ 1r ?Δ 2r ?Δ ir ?Δ 4r ?Δ动能定理当时,可用表示,称为位移元; 用表示,称为元功。 0?? ir ?r ?d iA? Ad微分形式: rFA ??d d??积分形式: r F??d ??? ba abA 在数学形式上,力的功等于力沿路径 L 从a到b的线积分。 F ?动能定理(2) 质点动能定理根据功的积分形式??? ba abArF ??d?? ba τs ma d 2 22 1 2 1 a b mv mv??st vm badd d???? ba τsFd?? bavvv mv d 动能定理定义质点的动能为: 22 1 mv E k?另一证明方法: ??? ba abArF ??d rd dt vdm ba??? 2 22 1 2 1 a b mv mv??vdvm ba????? ba mvdv k ka kb abEEEA????质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 a. 合力做正功时,质点动能增大;反之,质点动能减小。 d. 功是一个过程量,而动能是一个状态量, 它们之间仅仅是一个等量关系。 b. 动能的量值与参考系有关。 。几点注意: 动能定理多个质点组成的质点系,既要考虑外力,又要考虑质点间的相互作用力(内力)。 1F ? 2F ? 12f ? 21f ?m 1m 2 二质点组成的系统多个质点组成的系统两个质点在外力及内力作用下如图所示: 推广(3) 质点系动能定理动能定理对m 1运用质点动能定理: 1F ? 2F ? 12f ? 21f ?m 1m 2 同理,对 m 2 运用质点动能定理: 动能定理 211 2111 11 12 1 11 12 12 1 a b ba bavmvmrdfrdF??????? 222 222 2 22 21 2 22 22 12 1 a b ba bavmvmrdfrdF???????