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第2章拉格朗日方程内容: ?基本概念?理想完整系的拉格朗日方程?对称性和守恒定律重点: 完整保守系的拉格朗日方程难点: 拉格朗日方程的推导牛顿力学理论几乎都以力为基础,因此它的应用只局限于纯力学问题的范畴,运算也比较烦琐。 18世纪伯努利、达朗贝尔、欧拉等人发展了经典力学的分析形式。 1788 年拉格朗日发表了名著《分析力学》,建立了经典力学的拉格朗日形式,用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力,将力学的研究和应用范围开拓到整个物理学。 F ? 分析力学的基本概念 约束、自由度(1)约束限制体系各质点的自由运动的条件称为约束。约束的数学表达称为约束方程。例如一质点限制在 xy 平面上运动,其约束方程为: Z=0 。如果约束只是限制质点的几何位置,称为几何约束或完整约束,约束方程为0);,,( 21?trrrf n????( ) 如果约束除了限制质点的位置外,还要限制质点的运动速度则称为运动约束或微分约束,约束方程为 0);,,;,,( 2121?trrrrrrf nn???????????( ) 微分约束通过积分可变为几何约束,不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。(2)自由度能完全描述体系的运动所需要的可独立变化的坐标参量数目,称为体系的自由度。例如一质点在空间运动时其位置需要三个独立的坐标参量表示,自由度为3;约束(限制)在一平面上运动时,自由度为 2;约束在一直线上运动时自由度为 1。一个由 n个质点组成的力学体系受 k个完整约束时,其约束方程为 0);,,( 21?trrrf nj????; j=1 ,2,…k,( ) 位移理想约束(1)虚位移和实位移自由度为 S=3n-k ( ) rd ?r ?? P 想象在某时刻 t,质点发生一个约束所许可的无限小位移,这一位移不是质点实际运动产生的,而是想象的可能发生的无限小的位移称为虚位移,用 r ??表示。)(trr ???rd ?运动时,在 dt时间内实际发生位置变更称为实位移用表示。质点按规律(2)理想约束 NiF ? NiF ? ir ?? i Ni irFw??. ??设质点 i受到的约束力为,力在虚位移过程中做的虚功为,若整个体系的虚功 0.?? ii NirF?? () 则体系所受的约束称为理想约束。例如光滑曲面、光滑曲线、光滑铰链、不可伸长的杆或绳等都是理想约束。(3)广义坐标建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标称为广义坐标, 广义坐标确定了,体系在空间的位形(体系的位置状态)就确定了。广义坐标可以是坐标变量,也可能是是角动量或其他独立变量,凡能用来表述体系的位形、运动和动力学状态的独立参量都可作为广义坐标。广义坐标的条件是:互相独立;满足约束方程;唯一确定体系的位形式动力学状态。用广义坐标表出的动力学方程称为拉格朗日方程,可以直接由牛顿第二定律导出。 im ir ? iF ? NiF ? O (1)达朗贝尔方程设受约束的质点系中质点 i 所受的主动力和约束力分别为和,位矢为, 由牛顿 iF ? NiF ? ir ?第二定律有,,,2,1,niFFrm Ni iii????????? NiF ? ir ?,,,2,1,niFFrm Ni iii?????????给质点 i以虚位移,得 ir?0 ).(??? iii Ni irrmFF ?????对整个质点系???? i iii Ni irrmFF0 ).( ?????????? i iiiirrmF0 ).( ??????( ) 上式称为达朗贝尔( d′ Alembert )方程,是理想约束体系动力学普遍方程。思考:达朗贝尔方程的优点和不足之处是什么? (2)拉格朗日方程消去达朗贝尔方程中的虚位移,并用广义坐标表出的体系的动力学方程即是拉格朗日方程。 ir ???求虚位移 ir ??是位矢的变分, 运算规则是: 算符δ作用在空间坐标上时与微分算符 d的运算规则一样,作用在时间 t上则为零,即δt=0 。 ir ?? ir ?r ?设体系由 n 个质点组成,受 k 个理想完整约束,其自由度为 s=3n-k ,即需要 s个独立坐标即广义坐标,用表示?,则 sqqq,, 21 在理想约束条件下,有),,,,( 21tqqqrr sii????( ))(,,2,1, , 1 22 11sqq r qq rqq rqq rr si ss iiii????????????????????????????????将( )式代入( )式: 0] ).([ ).( 111 1????????????????????????qq rr