2-导数应用(二).ppt

高等院校非数学类本科数学课程————一元微积分学一元微积分学大大学学数数学学( (1 1) ) 第二十一讲第二十一讲导数的应用导数的应用( (三三) )授课老师:刘长荣————平面曲线的曲率平面曲线的曲率第六章一元微积分的应用本章学****要求: ?熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。?能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。?掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。?知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。第六章导数的应用第五节平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、参数方程下曲率的计算公式四、曲率圆、曲率中心我们已经讨论过曲线的凹凸性, 知道如判定曲线的弯曲程度. 而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向, 但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度, 例如, 道路的弯道设计, 梁的弯曲程度, ? Ox y?? M M ?)(xfy????.)( 1Cxfy??设沿曲线运动到点点M相应地切线转时,M ?),(称为转角过角度??.称弧的改变量为 s?.,具有方向性与其中 s???单位弧长上的转角︵.的平均曲率为MM ?一、曲率的概念一、曲率的概念 s????k ss kk ssd d lim lim 00???????????.)(处的曲率在点称为曲线 Mxfy?.极限的方法又是平均值?例1解求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率. ???MM ?????如图所示, 在圆上任取一点 M , 则 R || ||MMs ???︵????R 故?????s s? 0 lim 即圆上点的曲率处处相同: R k 1?半径越小的圆, s1 lim 0???????? O 设曲线方程为,)(xfy?,)(二阶可导 xf 则在曲线上点),(yxM 处的曲率为)1( 2 32y yk?????二、曲率的计算公式二、曲率的计算公式 O x y??M M ?)(xfy????证如图所示, 曲线在处切线的斜率为点M? tan ??y 故y ?? arctan ?x yy xd d1 1d d 2?????? 21y y?????又xysd1d 2???从而)1( d d 2 32y ys k???????xy yd1 d 2?????? bxay??,0,?????yay?0)1( 2 32???????y yk .)(Rx??, 直线不弯曲.