2.1导数的定义.ppt

第二章导数与微分第第二二章章导导数数与与微微分分 1 . 变速直线运动的瞬时速度( ) s s t ?设有一质点作变速直线运动, 其运动方程为求: 质点在?? 0tv时刻的瞬时速度 0t一、问题的提出§ 2. 1 导数的概念?????? t tsttsvtv?????? 000?????? t tsttsvtv?????? 0 0 0 0t时刻瞬时速度变化不大, 所以质点在若Δt很小, 在Δ t 时间内速度 1. 若质点作匀速直线运动 s ?? 0ts?? tts?? 00由于速度是连续变化的, 分析: 可以近似地用平均速度代替瞬时速度 v?? 0 v tt s t?????0 lim 于是当时, 0??t的极限即为 t s???? 0. v t t?越小, 近似的程度越好,?????? t tsttstv t??????? 0 00 0 lim ?????? t tsttsvtv?????? 0 0 0???? 000 lim t t s t s t t t ????)x(fy 0 的切线的斜率在求?思路:用割线 AB 逼近切线 AC 播放播放 AB AC BA LP Q x?Txx?? 00x y???设曲线 L 的方程为 y= f (x ) , x xfxxfx y????????)()( tan 0 0?? tan越接近于 k , Δx越小, Q 越接近于 P , PQ 越接近于 PT, 切线的倾角为α,则有: 分析:如图, 割线的倾角为θ, 求此曲线上点 P 处的切线斜率 k .x xfxxf x???????)()( lim 0 00x y k x??????0 lim tan ?二、导数的定义定义设函数 y=f(x)在点 x 0的某个邻域内有定义。如果极限存在,则称函数 f(x)在点 x 0处可导,且称此极限值为函数 f(x)在点 x 0处的导数,记为 f?(x 0),即 x xfxxfx y xx???????????)()( lim lim 0 00 0x xfxxfx y xx???????????)()( lim lim 0 00 0x xfxxfx yxf xx?????????????)()( lim lim )( 0 00 0 0 。如果上述极限不存在, 则称函数 f(x)在点 x 0处不可导。但如果上述极限是无穷大,则我们也称函数 y?f(x)在点x 0处的导数为无穷大. 0| xxy ??,0xxdx dy ?或0)( xxdx xdf ?。导数的其它符号: x xfxxfx yxf xx?????????????)()( lim lim )( 0 00 0 0 。函数的导数: 导数的其它定义式: 0 0 0 00 0 )()( lim )()( lim )( 0xx xfxfh xfhxfxf xx h????????? 00 00 ( ) ( ) ( ) lim . x x f x f x f x x x ?????或f?(2)2 lim ?? x2 )2()(??x fxf2 2 lim 222????x x x)2( lim 2???x x ??。或f?(2)2 lim ?? x2 )2()(??x fxf2 2 lim 222????x x x)2( lim 2???x x ??。或f?(2)2 lim ?? x2 )2()(??x fxf2 2 lim 222????x x x)2( lim 2???x x ??。 y?x 2在点 x?2处的导数。方法二解: 方法一 f?(2)?0 lim ??xx fxf????)2()2( ?x x x?????? 22 02)2( lim ?0 lim ??x (4??x)?4。. , 0 慢程度而变化的快因变量随自变量的变化反映了它处的变化率点导数是因变量在点 x ★关于导数的说明: