2.1线性方程组的一般形式与直接法思想.ppt

第二章解线性方程组的直接法 线性方程组的一般形式与直接法思想§ 线性方程组的直接法§实际问题中的线性方程组分类: 按系数矩阵中零元素的个数: 稠密线性方程组稀疏线性方程组按未知量的个数: 高阶线性方程组低阶线性方程组(如1000) (80%) 按系数矩阵的形状对称正定方程组三角形方程组三对角占优方程组一、直接法概述直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法,共有若干种. 对于线性方程组 b Ax?????????????? nn nn n naaa aaa aaaA??????? 21 2 22 21 1 12 11????????????? nx x xx? 2 1????????????? nb b bb? 2 1 其中系数矩阵未知量向量常数项------------(1) 根据 Cramer( 克莱姆)法则,若 0) det( ?A ii Ax b x ? det(A ) 则方程组有唯一解= . det(A) determinantal det( ) | | A A ?行列式的记号(1)需要计算 n+1 个n阶行列式并做 n次除法运算; (2)每个 n阶行列式需要做 n!次乘法运算; (若采用行列式展开计算) (3)对于较大的 n,计算量大到一般计算机难以接受;另外累积误差也将不能接受; ——需要寻找其他实际求解的办法,这就是数值解法。若用初等变换法求解, 则对其增广矩阵作行初等变换: ),(bAA?),( )1()1(bA?),( )2()2(bA ( ) ( ) ( , ) n n A b ?为上三角阵目标: )(nA的解不难得到则方程组)()(nnbxA? n-1 次 b Ax? b Ax?)()(nnbxA?同解即以上求解线性方程组的方法称为 Gauss 消去法即和两个三角形矩阵分解成的系数矩阵如果将线性方程组,UL A b Ax? LU A?则 b LUx ? b Ly?y Ux ?都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法------------(2) 不论是 Gauss 消去法还是直接三角形分解法, 、三角形线性方程组的解法 b Lx? b Ux ?????????????? nn nnlll ll lL???? 21 22 21 11????????????? nn n nu uu uuuU???? 2 22 1 12 11 若记下三角形线性方程组上三角形线性方程组的求解思路: 下三角形方程组 b Lx????????????????????????? n nn nnx x xlll ll l????? 2 1 21 22 21 11????????????? nb b b? 2 1 b Lx?nnnn nnbxlxlxl?????? 2211 1 111b xl? 2 222 121b xlxl?? ii ii iibxlxlxl?????? 2211???????即前推方向 11 11l bx? ii ij j ijiil xlbx????? 11ni,,3,2?????????的求解思路: 上三角形方程组 b Ux ????????????????????????? n nn n nx x xu uu uuu 2 12 22 1 12 11????????????????? nb b b? 2 1 b Ux ?其解为 11 212 111bxuxuxu nn?????nnnnbxu? 1,111,1??????? nnnnnnnbxuxu ? in in iiii iibxuxuxu???????? 11,???????其解为: nn nnu bx? ii nij j ijiiu xubx????? 11,2,,2,1????nni???????回代方向