2.4.2平面向量数量积的运算律.doc

第二章平面向量§ 平面向量的数量积第8 课时二、平面向量数量积的运算律教学目的: 1. 掌握平面向量数量积运算规律; 2. 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断, 会证明两向量垂直, 以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用授课类型:新授课教具:多媒体、实物投影仪内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上, 逐步把握数量积的运算律, 引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. 教学过程: 一、复****引入: 1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量 a与b,作 OA =a, OB =b,则∠ AOB =θ(0≤θ≤π)叫a与 b .平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量 a与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos ?叫a与b 的数量积,记作 a?b ,即有 a?b=|a ||b |cos ?, (0 ≤θ≤π). 并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.“投影”的概念:作图定义: |b |cos ?叫做向量 b在a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为 0 ;当?=0?时投影为|b| ;当?= 180 ?时投影为?|b|. 4 .向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b在a 方向上投影|b |cos ?的乘积. 5 .两个向量的数量积的性质: C 设a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量. 1?e?a=a?e =|a |cos ?;2?a?b?a?b=0 3?当a与b 同向时,a?b=|a ||b|;当a与b 反向时,a?b=?|a ||b|. 特别的a?a=|a| 2或aaa??|| 4 ? cos ?=| |||ba ba?;5 ?|a ?b|≤|a ||b| 二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1 .交换律: a ?b=b ?a 证:设 a,b 夹角为?,则 a?b=|a ||b |cos ?,b?a=|b ||a |cos ?∴a?b=b?a2. 数乘结合律: (? a)?b=?(a?b)=a?(? b) 证:若?>0,(? a)?b=?|a ||b |cos ?,?(a?b)=?|a ||b |cos ?,a?(? b)=?|a ||b |cos ?, 若?<0,(? a)?b =|? a ||b |cos( ???)=??|a ||b |(? cos ?)=?|a ||b |cos ?,?(a?b)=?|a ||b |cos ?, a?(? b) =|a ||? b |cos( ???)=??|a ||b |(? cos ?)=?|a ||b |cos ?. 3. 分配律: (a+b)?c=a?c+b?c 在平面内取一点 O ,作 OA =a, AB =b, OC =c,∵a+b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a、b在c 方向上的投影和,即|a+b| cos ?=|a| cos ? 1+|b| cos ? 2 ∴|c||a+b| cos ?=|c||a| cos ? 1+|c||b| cos ? 2,∴c?(a+b)=c?a