20.2第二型曲线积分.doc

1 §2 第二型曲线积分教学目的与要求: 掌握第二型曲线积分的定义和计算公式. 教学重点: 第二型曲线积分的定义和计算. 教学难点: 第二型曲线积分的计算公式. 教学过程一、第二型曲线积分的定义: (一)、力场??),(,),(),(yxQyxPyxF?沿平面曲线 L 从点 A到点 B 所作的功: 一质点受变力F(x,y) 的作用沿平面曲线 C 运动,当质点从 C 之一端点A移动到另一端 B时,求力 F(x,y) 所做功 W. 大家知道,如果质点受常力 F的作用沿直线运动,位移为 W=||F||||s||cos ?,其中||F||.||s|| 分别表示向量(矢量)的长度,?,?还是用折线逼近曲线和局部一常代变的方法来解决它(微分分析法). 为此,我们对有向曲线 C 作分割},,....., ,{ 110nnAAAAT ??,即在 AB内插入 n-1个分点,,....., , 121?nMMM 与A= nMBM?, 0一起把曲线分成n个有向小曲线段 iiMM 1?(i=1,2, ……,n), 以Si?记为小曲线段 iiMM 1?的弧长.} max{ Si???. 设力 F(x,y) 在x轴和 y轴方向上的投影分别为 P(x,y) 与Q(x,y), 即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y) i +Q(x,y)j, 2 由于),,( ).,( 111iiiiiiyxMyxM ???记 11, ???????? iiiiiiyyyxxx 和 mC =(),(yx??) 从而力 F(x,y) 在小曲线段 iiMM 1?上所作的功 iW),( iF??? mC =P( ji??, ) ix?+Q( ji??, ) iy?, 其中( ji??, )为小曲线段 iiMM 1?上任一点,于是力 F沿C(AB) 所作的功可近似 iW =?? ni iW 1 i ni iii ni iiysQxSP????????11),( )),((??当0??时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形式的和式上极限,得),(dydxFW AB???,即dsFW L???. (二)、稳流场通过曲线(从一侧到另一侧) 的流量:解释稳流场.(以磁场为例). 设有流速场),(yxv??),(,),(yxQyxP?.求在单位时间内通过曲线 AB从左侧到右侧的流量 AB从左侧到右侧的总流量 E为???? AB ABdxyxQdyyxPdE),(),( . (三)、第二型曲线积分的定义:设P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线C上的函数,对任一分割 T,它把 C分成 n个小弧段 iiMM 1?,I=1,2,3, ……,n; 记),( iiiyxM , iiMM 1?弧长为 is?,} max{ Si???, 11, ???????? iiiiiiyyyxxx , I=1,2,3, ……,n. 又设( ji??, )? iiMM 1?,若极限 lim?? niiip 1.),(?? xi?+lim?? niiiQ 1.),(?? yi?存在且与分割T与界点( ji??, )的取法无关,则称此极限为函数P,Q有线段C上的第二类曲线积分