20-导数应用(二).ppt

高等院校非数学类本科数学课程————一元微积分学一元微积分学第二十九讲第二十九讲一元微积分的应用一元微积分的应用( (二二) ) 脚本编写:彭亚新教案制作:彭亚新————函数函数( (曲线曲线) )的凹凸性、拐点、的凹凸性、拐点、函数图形的描绘函数图形的描绘高高等等数数学学 A A ( (1 1) ) 第六章一元微积分的应用本章学****要求: ?熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。?能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。?掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。?知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念,并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。?掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。?熟练掌握“微分元素法”,能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量:平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。?能利用定积分定义式计算一些极限。一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线三、函数图形的描绘第六章一元微积分的应用第三节曲线的凹凸性、函数图形的描绘我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗?O x yA B ? !. . 一、曲线的凹凸性、拐点,)( ),(时 baxf?它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”(函数)的凹凸性问题. 简单地说, 在区间 I上:曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, O x y2 21xx?)(xfy? 2x 1x O x y2 21xx?)(xfy? 2x 1x .)I()(Cxf?设,)(I, 2121恒有如果 xxxx???))()((2 1)2 ( 21 21xfxf xxf???成立, 则称曲线)(xfy?在区间 I 上是凸的;,)(I, 2121恒有如果 xxxx???))()((2 1)2 ( 21 21xfxf xxf???成立, 则称曲线)(xfy?在区间 I 上是凹的. 定义定义凹凸性的一般性定义是…… O x y凸 xab P Q:的方程弦线 PQ )( )()()( 112 121xxxx xfxfxfy?????弦:的坐标点x )1,0(,)1( 21???????xxx:曲线位于弦线上方弦yxf?)()()1()())1(( 2121xfxfxxf?????????即)(xfy? 2x 1xO x y凹 xab P Q:的方程弦线 PQ )( )()()( 112 121xxxx xfxfxfy?????弦:的坐标点x )1,0(,)1( 21???????xxx: 曲线位于弦线下方)( 弦yxf?)()1()())1(( 2121xfxfxxf?????????即)(xfy? 1x 2x