2000-2007MCM试题.doc

1 MCM 1998 问题-A 磁共振成像扫描仪引言用于工业和医疗的磁共振成像扫描仪诊断机对像脑那样的三维物体进行扫描,并把扫描的结果以三维像素阵列的形式传送之。每个像素由一个指示其颜色或灰度的数构成,它对像素所在位置处的被扫描物体的一个小区域中含水量(浓度)的度量进行编码。例如, 0能以黑色来描绘出高含水量(脑室、血管), 128 能以灰色来描绘出中等含水量(脑核和灰质),而 255 以白色来描绘出低含水量(组成有髓体轴的富含脂类白质)。这类磁共振成像扫描仪还包括能在屏幕画出通过该三维像素阵列的平行或垂直片(与三个笛卡尔坐标轴平行的平片)。眼下的算法利用了角度及可供使用的参数选择而受到限制,算法的执行也有赖于大量使用专用的工作站;在切片之前缺少在画面上作点的输入能力;从而使原始像素间明晰的边界变得模糊。能在个人计算机上实现的更为准确可靠的、灵活的算法对于以下几方面来说将是极为有用的: ①设计尽可能少的介入处理; ②校准磁共振成像扫描仪; ②研究诸如动物研究中尸体解剖组织部分那样的在空间中斜向的结构; ④能作出以任意角度和由黑白固线组成的脑图谱相交的截面。为设计这样的算法,就要能存取任意像素的值和位置,不仅仅是由扫描仪收集到的原始数据。问题设计并测试能产生与三维阵列在空间任意指向的平面的截面部分的算法,并尽可能保持原始的灰度值。数据集典型的数据集由表示物体在位置处的浓度的由数 A(i ,j,k)构成的三维阵列 A典型的情形, A(i ,j,k)的取值范围为 0到255 .在大多数应用中, 该数据集是相当大的。参赛队要设计用以测试井论证其算法的数据集。数据集应能反映大概是有诊断意义的情况。参赛队还应叙述限制其算法有效性的数据集的特征。 2 总结算法一定要生成由空间一平面与三维阵列相交出的切片部分的图象。这种平面在空间可以钉任意的指向和位置(该平面可能会漏掉一些或全部数据点)。算法的结果应该是所扫描的物体在所选平面上的浓度的一个模型。 AMCM98 问题-B成绩给分的通胀背景一些行政领导很为 A Better class(ABL) 学院的成绩给分担扰。平均说来, AB C 学院的教师一直在给高分(现在结出的平均成绩分数为 A-) ,从而不可能区分好学生和中等水平的学生。金额很大的奖学金只能资助班上前 10% 的学生,因而要对班上的学生排名次。院长有一想法:把班上每个学生和其他学生进行比较,并用比较获得的信息来排名次。例如,若某个学生得分为 A而全班学生都得 A,那么这个学生只能属于这个班上的“平均水平”。另一方面,如果班上只有一个学生得 A,那么这个学生显然在“平均水平之上”,结合几门课中得到的比较信息就能把全校的学生按十分位数排名次(前 l0% 。次 l0% ,……,等等)。问题假定给出的成绩记分为(A+ , A, A-,B+,^ …)院长的想法能否实现? 假定给出的成绩记分只有(A、B,C…)院长的想法能否实现? 有没有其他能给出名次排列的方案?一种担心是,一个班级的成绩记分可能会改变许多学生的十分位数的排名次。可能出现这种情况吗? 数据集参赛队要设计用以测试并论证其算法的数据集,参赛队还应叙述限制其算法有效性的数据集的特征。 AMCM99 问题-A大碰撞 3 $ W+ B9 @+ s7 Z1 E(e NASA( 航空航天管理局)常常考虑这样一个问题:一颗较大的小行星与地球的碰撞将会产生怎样的后果。作为这个问题的一部分,要求你们讨论这颗小行星该到地球南极所造成的后果,有人认为其后果将与该行星撞到地球其它区域的后果有很大的不同。/ ]"f U3 S8 |) Q: `0 s1 U6 P7g你们可以假设这颗小行星的直径大约为 l000 米,并且立接撞在南极点处。你们应当给出这样一次碰撞的后果的估计,特别地, NASA 希望得到由这次碰撞所造成的人员伤亡的地区及数量的估计, 还希望得到关于对南半球的大洋区域的农作物生长的危害的估计,以及由于南极冰层大规模融化引起的沿海洪水的一个估计。 AMCM99 问题-B 6 ^# b+ ?+ [8 n6 J9 i'j“非法”聚会许多公共设施的房间都柯一种标有人数的记号,当房间中人数超过记号上人数时就视为“非法”,该数目可假定是以紧急情况下从房屋出口逃出的人数为基准确定的,类似地,电梯及其它设施经常有一个“最大容量”。建立数学模型以确定标上多大人数值才是“合法容量”,作为求解的一部分要讨论若干准则(并非在火灾或其它紧急情况下的公共安全)决定出房屋〔或空间) 达到“非法”聚会的人数,而且,在所建模型中要考虑几种不同的房屋结构,例如,像咖啡屋(拥有桌和椅子)那样具有可移动家俱的房子,具有成排椅子和走廊的演训厅等,你还可以对各种不同情形进行比较与对比,例如:电梯,演