第九节差分方程.doc

第九节差分方程迄今为止, 我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中, 大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的, 银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息, 国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量, 我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系, 如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. —差分方程. 分布图示★引言★差分的概念★例 1-5 ★差分方程的概念★例6★例7 ★一阶常系数线性齐次差分方程★一阶常系数线性非齐次差分方程★例 9-13 ★例 14★例 15 ★二阶常系数线性差分方程★二阶常系数线性齐次差分方程的通解★例 16★例 17★例 18 ★二阶常系数线性非齐次差分方程的特解★例 19★例 20★例 21 差分方程在经济学中的应用★模型 1★模型 2★模型 3 ★内容小结★课堂练********题 8-9 内容要点: 一、差分的概念与性质一般地,在连续变化的时间范围内,变量 y 关于时间 t 的变化率是用 dt dy 来刻画的; 对离散型的变量 y ,我们常取在规定的时间区间上的差商 t y??来刻画变量 y 的变化率. 如果选择 1??t ,则)()1(tytyy????可以近似表示变量 y 的变化率. 由此我们给出差分的定义. 定义 1 设函数).(tyy t?称改变量 ttyy??1 为函数 ty 的差分, 也称为函数 ty 的一阶差分, 记为 ty?,即tttyyy????1 或)()1()(tytyty????. 一阶差分的差分称为二阶差分 ty 2?,即ttttyyyy?????????1 2)(.2)()( 12112tttttttyyyyyyy????????????类似可定义三阶差分, 四阶差分, ……??),( ),( 3423ttttyyyy????????一般地,函数 ty 的1?n 阶差分的差分称为 n 阶差分,记为 t ny?,即 t nt nt nyyy 11 1???????? int in ni iyC ?????? 0)1( 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分. 差分的性质: (1)ttyC Cy ???)( );(为常数 C (2);)( ttttzyzy??????(3);)( 1ttttttzyyzzy???????(4)tt ttttt tzz zyyzz y???????????????1 ).0(? tz 二、差分方程的概念定义 2 含有未知函数 ty 的差分的方程为差分方程. 差分方程的一般形式:0),,,,,( 2???? t ntttyyyytF?),,,,,( 21????nttttyyyytG?差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化. 定义 3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解. 我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件, 这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解. 定义 4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程. 线性差分方程的一般形式是)()()()( 1111tfytaytaytay tntnntnt???????????其特点是 tntntyyy,,, 1????都是一次的. 三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)( 1tf Py y tt???() 其中,P 为非零常数,)(tf 为已知函数. 如果,0)(?tf 则方程变为 0 1???tt Py y () 方程() 称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地, 方程() 称为一阶常系数线性非齐次差分方程. 一阶常系数线性齐次差分方程的通解一阶常系数线性非齐次差分方程定理 1设ty 为方程() 的通解,*ty 为方程() 的一个特解,则*tttyyy??为方程() 的通解.(1)Ctf?)( (C 为非零常数)(2)t Cb tf?)( (C,b 为非零常数且 1?b ) 四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:)( 12tfby ay y ttt?????() 其中 ba, 均为常数,且,0?b )(xf )(?xf 时, 方程() 变为 0 12?????tttby ay y () 方程() 称为二阶常系数线性齐次差分方程,相应地,方程(9.