复变函数课件第三章.ppt

复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 第3章复变函数的积分§ 复变函数积分的概念和性质§ 柯西积分定理及其应用§ 柯西积分公式和解析函数的高阶导数§ 解析函数与调和函数的关系复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复****引入??????? ba ni iinx)(f lim dx)x(f 1? 1 ( , ) lim ( , ) n i i i ni D f x y d f ? ??????? ???? 1 ( , , ) lim ( , , ) n i i i i ni f x y z dV f V ? ??????? ????? 1 1 ( , ) ( , ) lim[ ( , ) ( , ) ] n n i i i i i i Ln i i P x y dx Q x y dy P x Q y ? ? ????? ?? ? ???? ?? 1 ( , ) lim ( , ) n i i i Lni f x y ds f s ? ????? ???复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 1. 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[ a, b] 可积. ?????? ni ii baxfxxf 1 0)( lim d)(??)(,0)( 面积在几何上表示曲边梯形时当?? baxxfxf 如图 0 x yab x ix i+1 ? i y = f (x) f (? i) 其中? i?[x i , x i+1 ], ?x i = x i+1?x i , 表小区间[x i , x i+1]的长, f ( ? i ) ?x i表示小矩形的面积. plex Analysis and Integral Transform 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法. 复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 第一型曲线积分设有光滑曲线 , , . f(x,y )是定义在 L上的连续函数 . 则: ?????? L dtttttfdsyxf ??????)()( ))( ),((),( 22 )( ),(:tytxL????],[???t复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 第二型曲线积分设L为光滑或按段光滑曲线:函数 P(x,y )和 Q(x,y )在L上连续, 则沿 L的自然方向有: ???????????????dttttQtttP dy yxQdx yxP L )]( ))( ),(()( ))( ),(([ ),(),( )( ),(:tytxL????],[???t复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 复变函数积分的概念和性质一、定义设在复平面 C上有一条连接 Z 0及Z两点的简单曲线 C。设 f(z )=u( x,y )+ iv( x,y )是在 C上连续的函数。其中 u( x,y )及v( x,y ) 是f(z)的实部及虚部。 0z 把曲线 C用分点分成 n个更小的弧, 在这里分点在曲线 C上, 按从到Z的次序排列的。 0 1 2 1 , , ,..., , n z z z z ?) ,..., 2,1,0(nkz k? n z z ?复变函数与积分变换 plex Analysis and Integral Transform 0z 1z 1?kz k? kz Zz n? 1?nzC ???????? C k nk kn dzzfzf)()( lim 11?如果是到的弧上任意一点,那么下列和式的极限(对任意分法和的取法都存在且相同),记 k? kz 1?kzk? 1 k k k z z z ?? ??