常微分方程 2.2 线性方程与常数变易法.ppt

2017-2-20 常微分方程§ 线性方程与常数变易法 2017-2-20 常微分方程 0)()()(???xcyxbdx dy xa一阶线性微分方程的区间上可写成在0)(?xa)1()()(xQyxPdx dy??的连续函数在考虑的区间上是这里假设 x xQxP)( ),(变为则若)1(,0)(?xQ)2()(yxPdx dy?称为一阶齐次线性方程)2(称为一阶非齐线性方程则若)1(,0)(?xQ 2017-2-20 常微分方程一一阶线性微分方程的解法----- 常数变易法解对应的齐次方程 01 ( ) (2) dy p x y dx ?得对应齐次方程解常数变易法求解 02 ))1( ),( (的解使它为的待定函数变为将常数 xcxc 为任意常数 cdx ce y xp, )(??则的解为令,)1()( )(?? dx xpexcy )1()()(xQyxPdx dy?? 2017-2-20 常微分方程 dx xp dx xpexpxcedx xdc dx dy????)( )()()( )(代入(1) 得 dx xpexQdx xdc???)()( )(积分得~)()()(cdx exQxc dx xp?????的通解为故)1(3 0 )3())(( ~)( )(cdx exQ ey dx xp dx xp??????注求(1) 的通解可直接用公式(3) 2017-2-20 常微分方程例1求方程 1)1()1( ????? nxxeny dx dy x通解,这里为 n常数解:将方程改写为 nxxeyx ndx dy)1(1 ????首先,求齐次方程 yx ndx dy1??的通解从 yx ndx dy1??分离变量得 dx x ny dy1?? 11 ln lncxny???两边积分得 2017-2-20 常微分方程故对应齐次方程通解为 nxcy)1(??其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 代入得为原方程的通解令,)1 )(( nxxcy?? nxn n nxexxnc xxnc xdx xdc)1()1 )(()1 )(()1( )( 1 1?????????即 xedx xdc?)(积分得~)(cexc x??故通解为为任意常数~~ ),()exy xn??? n dx x n dx xpxc ce ce y)1( 1 )(??????? 2017-2-20 常微分方程例2求方程 22yx ydx dy??: , y的线性方程原方程不是未知函数但将它改写为 y yxdy dx 22??即 yxydy dx?? 2, yx为自变量的线性方程为未知函数它是以,故其通解为))(( ~)( )(cdy eyQ ex dy yp dy yp??????))(( ~ 2 2cdy eye dyy dyy???????。 ccyy为任意常数), ln( ~ 2??? 2017-2-20 常微分方程例3求值问题 1)1(,14 3 2????yxyxdx :先求原方程的通解))(( ~)( )(cdx exQ ey dx xp dx xp??????))14(( ~ 32 3cdx exe dxx dxx???????) 1)14(( ~3 23cdx x xx???? 2017-2-20 常微分方程)2 1 ln4( ~2 3cx xx??? 3 ~432 lnxc xxx???代入后得将初始条件 1)1(?y2 3 ~?c故所给初值问题的通解为 22 3 ln 343xxxxy???) 1)14(( ~3 23cdx x xx??? 2017-2-20 常微分方程方程伯努利二)( Bernoulli 形如 nyxQyxpdx dy)()(??的方程,称为伯努利方程. 。 xxQxP的连续函数为这里)( ),(解法: 方程变为引入变量变换, 1 1 0nyz ??)()1()()1(xQnzxPndx dz????求以上线性方程的通解 02变量还原 03