常微分方程发展简史经典阶段.doc

第一讲常微分方程发展简史——经典阶段一、引言 Newton 和 Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18 世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和 Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律很难完全靠实验观测认识清楚, 因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.`` 平衡" 是我们在现实生活中随处可见的现象. 如:物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内(或一定范围内)物质的变化, 容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡. 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配. 注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的 Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设:121 ( ) H 初始种群规模已知 0 0 ( ) x t x ?,种群数量非常大, 世代互相重叠, 因此种群的数量可以看作是连续变化的; 221 ( ) H 种群在空间分布均匀, 没有迁入和迁出( 或迁入和迁出平衡); 321 ( ) H 种群的出生率和死亡率为常数, 即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421 ( ) H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量, x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[ , ] t t t ??( 不失一般性,设0t ??), 由物质平衡原理, 在此时间段内种群的数量满足: t t ??时刻种群数量–t 时刻种群数量=t?内新出生个体数–t?内死亡个体数, 即( ) ( ) ( ) ( ) , x t t x t bx t t dx t t ???????亦即( ) ( ) ( ) ( ), x t t x t b d x t t ???? ??令0t ??,可得( ) ( ) ( ) : ( ) dx t b d x t rx t dt ? ? ?满足初始条件 0 (0) N N ?的解为( ) 0 0 ( )