法向量法求二面角.ppt

设?????????,则有(图 1)或(图 2) 1 2 , n n ??????分别为平面α,β的法向量, 二面角,大小为向量的夹角为????l,? 1 2 , n n ??????θβ l αθβ l α?? 2n 1n 2n 1n 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角. 图1 图2 , θβ l αθβ l α?? 2n 1n 2n 1n 一. 利用法向量求二面角的大小的原理:图1 图2 约定,图 1中, 的方向对平面α而言向内. 1n 2n ???. 图2 1n 2n ???二. 如何求平面的一个法向量:1、定义:如果表示向量平面α的法向量共有两大类(从方向上分), 无数条。 n ? n ?n ?这时向量叫做平面α的法向量. 的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α, 记作⊥α,a ? n ?b ?个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定 a ?b ?如图,设=( x 1,y 1,z 1)、=(x 2 ,y 2 ,z 2)是平面α内的两 n a ?? ?理知,若且则 n b ?? ?.n???换句话说,若 0 n a ? ?? ?0 n b ? ?? ????可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第二步(列):根据可列出方程组第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特的坐标. n ?=(x,y,z). 第一步(设):设出平面法向量的坐标为 0 n a ? ?? ?0 n b ? ?? ?且 1 1 1 2 2 2 00 x x y y z z x x y y z z ? ????? ???第三步(解):把z看作常数,用z表示 x、y. 殊越好),便得到平面法向量 n ?例题 1: 如图 3,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 G、E、F分别为 AA1 、 AB 、 BC 的中点,求平面 GEF 的法向量。 DAB C A 1B 1C 1D 1GE Fx y z 以D为原点建立右手空间直角坐标系,如图所示, 解:DAB C A 1B 1C 1D 1GE Fx y z 则不妨设正方体的棱长为一个单位长度 1 1 1 1, , 0 , ,1, 0 , 1, 0, 2 2 2 E F G ? ?????? ?????? ?????由此得 1 1 1 1 0, , , , , 0 2 2 2 2 GE FE ? ???? ???? ???? ??????? ????设平面的法向量为??, , n x y z ??由, n GE n FE ? ?? ?????????可得 1 1 0, 2 2 1 1 0. 2 2 n GE y z n FE x y ?? ???????? ?????? ????? ???? x y z y ??????令 y=1, 取平面的一个法向量为?? 1,1,1 n??注:因为平面的法向量有无数个,方向可上,可下, 模可大可小,我们只要求出平面的某个法向量即可. 例题 4. 在长方体 ABCD — A1B1C1D1 中, AB=2 , BC=4 , AA1=2, 点Q是 BC 的中点, 求此时二面角 A— A1D —Q的大小. O(A) B A 1C 1B 1D 1D CQzyx 解:如图 2,建立空间直角坐标系. 依题意: A1 (0,0,2), Q(2,2,0), D(0,4,0),2 4 2 1 (2, 2, 2), ( 2, 20) AQ QD ? ????????? ????)0,0,1( 1?n面 AA 1D的法向量设面 A1DQ 的法向量为 2 1 2 3 ( , , ), n a a a ???? 2 1 1 2 3 2 1 2 2 2 2 0, 2 2 0, n AQ a a a n QD a a ?? ??????? ?????????????????????则??????,2 , 13 12aa aa 2 1 1 1 ( , , 2 ) n a a a ? ????令a 1 =1 , 则 2 (1,1, 2), n???? 1 2 1