平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题.doc

平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题四川省高中数学骨干教师省级培训班四班学员四川省眉山车城中学蒋国军人教版《平面解析几何》课本中研究的平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹有三类: 1、到两定点 21FF、的距离之和等于常数 2a (2a>0) (1) 、当 212FFa?时,动点轨迹是椭圆; (2) 、当 212FFa?时,动点轨迹是线段 21FF ; (3) 、当 212FFa?时,动点轨迹不存在。 2、到两定点 21FF、的距离之差等于常数 2a (2a>0) (1) 、当 212FFa?时,动点轨迹是双曲线; (2) 、当 212FFa?时,动点轨迹是以 21FF、为端点的两条射线; (3) 、当 212FFa?时,动点轨迹不存在。 3、到两定点 21FF、的距离之比(商)等于常数 m (m>0) (1) 、当 m=1 时,动点轨迹是线段 21FF 的垂直平分线; (2) 、当1?m 时,动点轨迹是圆。(这也可称之为圆的第二定义) 那么平面内到两定点 21FF、的距离之积等于常数 m (m>0) 的动点轨迹是什么呢? 以21FF 所在直线为 x 轴,以线段 21FF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系;设?? 0,2 21??ccFF ,则???? 0,,0, 21cFcF?,又设动点 M 的坐标为?? yx,, 21m MF MF ??????? mycxycx??????? 2 22 2 两边平方,化简得: 0222 2422222244???????mcycxcyxyx (1 )由对称性知识可得,方程所表示的曲线关于 x 轴、 y 轴成轴对称,且关于原点成中心对称; (2 )令 x=0, 得:,02 24224????mcycy???? 0 2222?????mcymcy 则: 22cmy??或mcy??? 22 ( <0, 舍去) ?当2cm?时,方程所表示的曲线与 y 轴交于两点),0( 2cm??; 当2cm?时,方程所表示的曲线与 y 轴交于一点( 0,0); 当2cm?时,方程所表示的曲线与 y 轴没有交点。(3 )令 y =0 ,得: 02 24224????mcxcx???? 0 2222?????mcxmcx 则:mcx?? 22 或mcx?? 22?当2cm?时,方程所表示的曲线与 x 轴交于两点)0,( 2mc??; 当2cm?时,方程所表示