习题集-02 数字信号处理习题答案.doc

§Z变换 Z 变换的定义及收敛域****题】 1. 假如)(nx 的z 变换代数表示式是下式,问)(zX 可能有多少不同的收敛域。)8 34 51 )(4 11( 4 11)( 212 2?????????zzz zzX 【分析】) 要单独讨论, ( 环状、圆外、圆内: 有三种收敛域: 双边序列的收敛域为: 特殊情况有: 左边序列的收敛域为: 因果序列的收敛域为: 右边序列的收敛域为: 特殊情况有: 有限长序列的收敛域为 0 0, ,0 0, , 0,0 0,0 ,02 2 1 1 2 1 21???????????????????????????????????????zz RzR nnRz nnRz nnzR nnzR nz nz nnnzxx x x x x 解: 对X(Z) 的分子和分母进行因式分解得)4 31 )(2 11 )(2 11( 2 11 111 1?????????Z jZ jZ Z X(Z) 的零点为: 1/2 ,极点为: j/2, -j/2 , -3/4 ∴X(Z) 的收敛域为: (1) 1/2 <|Z|< 3/4 ,为双边序列,见图一(2)|Z|< 1/2 ,为左边序列,见图二(3)|Z|> 3/4 ,为右边序列,见图三图一图二图三)4 31 )(2 11 )(4 11( )2 11 )(2 11()( 112 11???????????ZZZ ZZZX Z 反变换****题】 2. 有一右边序列)(nx ,其 z 变换为)1 )(2 11( 1)( 11?????zz zX (a) 将上式作部分分式展开(用1?z 表示) ,由展开式求)(nx 。(b) 将上式表示成 z 的多项式之比,再作部分分式展开,由展开式求)(nx , 并说明所得到的序列与(a) 所得的是一样的。【注意】不管哪种表示法最后求出 x(n) 应该是相同的。解: (a) 因为 111 22 11 1)( ???????zz zX 且 x(n) 是右边序列所以)()2 12()(nunx n????????(b)1 22 1 2 11 )1 )(2 1( 2 12 31 )1 )(2 1( )( 2??????????????zz zz z zz zzX)()2 12( )1(2)1(2 1)()(nu nununnx n n????????????????????则 Z 变换的基本性质和定理****题】 3. 对因果序列,初值定理是)( lim )0(zXx z???,如果序列为 0?n 时0)(?nx ,问相应的定理是什么? )(nx 讨论一个序列,其 z 变换为: 值。试求其的收敛域包括单位圆, )0()(xzX 【分析】这道题讨论如何由双边序列 Z 变换)(zX 来求序列初值)0(x ,把序列分成因果序列和反因果序列两部分, 〖它们各自由)(zX 求)0(x 表达式是不同的〗,将它们各自的)0(x 相加即得所求。)0()( lim )2()1()0( )()( :,0)(,0 0 2 0xzX zxzxx znxzX nxn z n n?????????????????所以此时有: 有时当序列满足解: 若序列)(nx 的Z 变换为: 2 1,2)( )()(2 13 24 )2 1 )(2( 24 19 12 72 51 24 19 12 7)( 21 21 221 1????????????????????zzzX zXzXz zz z zz zzzz zzX 的极点为) ( ) ( 由题意可知: X(Z) 的收敛域包括单位圆则其收敛域应该为: 22 1??z3 1)0()0()0( 3 12 13 lim )( lim )0( 024 lim )( lim )0( )( 0)( 21 22 0 10 1 2 1???????????????????xxx z zzXx z zzXx nx nnx zz zz) ( ) ( 为因果序列: 时为有值左边序列, 为则 21 12 51 24 19 12 7)( ???????zz zzX 4. 有一信号)(ny ,它与另两个信号)( 1nx 和)( 2nx 的关系是: )1()3()( 21?????nxnxny 其中)(2 1)( 1nunx n???????,)(3 1)( 2nunx n???????已知 11 1 )]([ ??? az nuaZ n ,az?,。变换的变换性质求利用)()(zYznyz 【分析】。则) ( : 注意移位定理)()()()(*)()(2 )()()( )()()()( )1( 2121 1 1zXzXzYnxnxny zXz m) n x(zXzmnx zXnxzXnx -m m????????????解: 根据题目所给条件可得: 1 12 11 1