弯曲特性.doc

- 182 - 第8章弯曲变形 挠度与转角梁的刚度条件 工程实例工程上, 对于某些弯曲构件, 除强度要求外, 往往还有刚度要求, 根据工作的需要, 对其变形加以必要的限制。例如, 机床的主轴(图 8-1) , 若变形过大, 将会影响齿轮间的正常啮合、轴与轴承的配合,从而加速齿轮和轴承的磨损,使机床产生噪声, 影响其加工精度。因此,在设计主轴时,必须充分考虑刚度要求。工程中虽然经常限制弯曲变形, 但在某些情况下, 常常又利用弯曲变形来满足工作的要求, 例如, 叠板弹簧(图 8-2) 应有较大的变形, 才可以更好地起缓冲作用。弹簧扳手(图 8-3) 要有明显的弯曲变形,才可以使测得的力矩更为准确。为了限制或利用构件的弯曲变形, 就需要掌握计算弯曲变形的方法。本章主要讨论梁在平面弯曲时的变形计算。 挠度和转角讨论弯曲变形时, 以变形前的梁轴线为 x轴, 垂直向上的轴为 y轴(图 8-4) 。在平面弯曲的情况下,变形后梁的轴线将成为 xy平面内的一条曲线, 称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x 的任意点的纵坐标,用v 来表示, 它代表坐标为 x 的横截面的形心沿 y 方向的位移, 称为挠度。工程问题中,梁的挠度 v 一般远小于跨度, 挠曲线是一条非常平坦的曲线, 所以任一截面的形心在 x 方向的位移都可略去不计。在弯曲变形过程中, 梁的横截面对其原来的位置所转过的角度?, 称为该截面的转角。挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量。在图 8-4 所示坐标系中, 规定向上的挠度为正, 向下的挠度为负。逆时针的转角为正, 顺时针的转角为负。在一般情况下,梁的挠度和转角随截面位置的不同而改变,是坐标 x 的函数,即)(xfv?(8-1) )(xθθ?(8-2) - 183 - 式(8-1) 、式(8-2) 表示的函数关系分别称为挠曲线方程和转角方程。梁弯曲时, 若不计剪力影响, 横截面在变形以后仍保持平面, 并仍与挠曲线相正交。所以, 横截面的转角?与该截面处挠曲线的倾角相等(图 8-4) 。在小变形下, 倾角?很小,故有)x(fx v tg '???d d??(8-3) 由(8-1) 和(8-3) 可见,挠曲线方程在任一截面 x 处的函数值,即为该截面的挠度。挠曲线上任一点切线的斜率等于该点处横截面的转角。因此, 只要得到了挠曲线方程, 就很容易求出梁的挠度和转角。 梁的刚度条件为了使梁有足够的刚度, 根据实际需要, 常常限制梁的最大挠度及最大转角( 或指定截面的挠度及转角) 。故刚度条件可表示为][ ][ max max θθ ff??( 8-4 ) 式中, max f 与 max θ为梁的最大挠度与最大转角,][f 与][θ为许用挠度和许用转角。其值根据具体工作条件来确定,可从机械设计手册中查得。例如,一般用途的轴][f =(-) l ,传动轴在安装齿轮处][θ= 。其中 l 为梁的跨度。 挠曲线的近似微分方程在建立纯弯曲正应力计算公式时,曾导出曲率公式 z EI Mρ? 1 若不计剪力对弯曲变形的影响, 上式也可用于横力弯曲情况。横力弯曲时, 弯矩 M及曲率半径?均为坐标 x 的函数,上式可改写为 z EI M(x) ρ(x) ? 1 (a) 式(a) 表明, 挠曲线上任意一点的曲率与该处横截面上的弯矩成正比, 与抗弯刚度成反比。另一方面, 挠曲线为 xOy 坐标系内的一条平面曲线)(xfv?, 其上任意一点的曲率可表示为- 184 - 232 2 2])d d(1[ d d)( 1 /x v x vxρ???(b) 由式(a) 和式(b)得z / EI xMx v x v)(])d d(1[ d d 232 2 2???(8-5) 式(8-5) 称为挠曲线微分方程式。工程实际中梁的变形一般都很小, 通常转角 x vθd d?不超过 o1 。可见式(8-5) 中等号左端分母中 2)d d(x v 项与 1 相比可以略去不计。因此,式(8-5) 可简化为 z EI xMdx vd)( 2 2??(c) 式中正负号与弯矩的符号规定及所取坐标系有关。根据§ 6-2 中关于弯矩的符号规定,在图 8-5 所示坐标系下,弯矩 M 与二阶导数 2 2d dx v 的符号总是一致的。因此,式(c) 左端应取正号,即 z EI xMx v)(d d 2 2?( 8-6 ) 式(8-6) 称为挠曲线近似微分方程。 用积分法求弯曲变形挠曲线近似徽分方程(8-6) 的通解可用积分法求得,将(8-6) 连续积分两次,得 Cx EI xMx vθ z???? d )(d d ( 8-7 )D Cx xx EI xMv z?????)dd )(( ( 8-8 ) 式中 C、