常微分方程 §3.2 解的延拓.ppt

2017-2-20 常微分方程§ 解的延拓 2017-2-20 常微分方程问题提出对于初值问题,)( ),( 00???????yxy yxfdx dy,,: 0 0byyaxxR????,,在一定条件下告诉我们上节解存在唯一性定理, 0 上存在唯一它的解在区间 hxx??),( ),, min( ),(yxf Max MM bah Ryx???这里, ,),(, 区间也应越大解的存在唯一越大的定义域如果根据经验 Ryxf. , ,),( ,,的这显然是我们不想看到缩小解的存在唯一区间反而的定义域的增大即随着可能出现这种情况但根据定理的结论 yxf 2017-2-20 常微分方程,0)0( 22????????y yxdx dy 例如初值问题,11,11:时当取定义域为?????? 1}2 1,1 min{ ???hx 解的存在唯一区间,22,22:时当取定义域为?????? 1}8 2,2 min{ ???hx 解的存在唯一区间 2017-2-20 常微分方程 1 饱和解及饱和区间定义 1上的微分方程对定义在平面区域 G)( ),,(yxfdx dy?,),()()( 11的连续解定义在区间为方程设???xy?且满足有定义上它在区间的另一解若存在方程, ),( ),()( 22???xy?),,(),(),(),()1( 11221122??????????但);()(,),()2( 11xxx??????时当.),()()( ,),( ),( 22 11的一个延拓在是解并且称解是可延拓的则称解???????xyxy xxy???? 2017-2-20 常微分方程., ),( ),( ),( 11或饱和解解为方程的一个不可延拓则称解的解若不存在满足上述条件??????? xx yxy.),( 11称为一个饱和区间义区间此时把不可延拓解的定?? 2 局部李普希茨(Lipschitz) 条件定义 2. ),( ), ,( ),( , , ,),(条件满足局部于内关在则称可能不同大小和常数域对不同的点条件满足关于上在存在内的闭矩形为中心完全含于有以一点内的每且对内连续在区域若函数 Lipschitz y GyxfL R Lipschitz yyxfR R G PP G G yxf P P P 2017-2-20 常微分方程对定义 2也可如下定义有使对有关与及常数矩形若对上函数对定义在平面区域 1 ''' 11111 1111 1 11),( ),,( ),,,,( },|), {( ,),( ),,(RyxyxbayxL GbyyaxxyxR GyxyxfG???????????"'1 "'),(),(yyLyxfyxf???. ),(, 条件满足局部内关于在则称恒成立 Lipschitz yGyxf. ),(,),(),(条件满足局部内关于在则内连续在及若 Lipschitz y GyxfGyxfyxf y注 2017-2-20 常微分方程 3 解的延拓定理定理. ))(,(, )(),()(. ),(, ),()( 00的边界任意接近直到点可以延拓的解内任一点通过那么方程件条满足局部关于内且在在中连续在有界区域右侧函数如果方程 G xx xyyxG Lipschitz yyxfG G yxf???. ))(,(,, )(, 0边界的趋于区域时则当上间只延拓到区如果增大的一方来说以向G xxmxmxx xy x?????? 2017-2-20 常微分方程证明初值问题由解存在唯一性定理,,),( 00Gyx??)2(,)( ),( 00???????yxy yxfdx dy. ),( 00hxx xy???解的存在唯一区间为存在唯一解?则初值问题为心作一小矩形以取, ),( ),(, 1 1111001GR yxxyhxx?????)3(,)( ),( 11???????yxy yxfdx dy 1 1 ( ), 0. y x x x h ?? ???存在唯一解解的存在唯一区间为 2017-2-20 常微分方程),()( , ),()( 11xx xx??????应有在两区间的重叠部分由唯一性定理因),()( 111xxxxhx??????时即当定义函数, ),( ),()( 1100 0000 *????????????hxxhxx hxxhxxx???. ],[ )),3( )(2()()(, 1100 *上有定义的唯一解在或满足为方程那么hxhx xy ????. ),( )2()(一段在定义区间向右延长了的解满足这样我们已把方程 xy??, )()()2()