新华电信数学建模曲线拟合课件.ppt

数学建模与数学实验曲线的拟合据人口统计年鉴,知我国从 1949 年至 1994 年每五年的人口数据资料如下: (人口数单位为:百万) 建立人口数与年份的函数关系,并估算 1999 年的人口数。拟合问题引例年份 1949 1954 1959 1964 1969 人口数 年份 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 如何确定 a,b ? b ax y??线性模型曲线拟合问题的提法已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(x i,y i ) i =1, …,n, 寻求一个函数(曲线) y=f(x)近似地反映该组数据的变化规律,不要求曲线严格通过每个已知数据点,但(在总体上) 要求曲线在各数据点处的取值与已知观测值之间的总体误差最小,这类问题为曲线的拟合(数据的拟合)。+ ++ + ++ +++x yy=f(x) (x i,y i) ? i? i 为点(x i,y i ) 与曲线 y=f(x ) 的距离,即( ) i i i f x y ?? ?( ) i f x拟合与插值的关系联系: 函数的插值与曲线的拟合都是要根据已知的一组观测数据构造一个函数来近似地反映该组数据的变化规律。区别: 若要求所求曲线通过所给所有数据点,就是插值问题;若不要求曲线通过所有数据点,而是要求它较好地反映数据的整体变化趋势,这就是数据拟合。由于对所求曲线近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同的。已知一组(二维)数据 1 1 2 2 ( , ),( , ),.........,( , ) n n x y x y x y ( ) y f x ?首先设定某一类型的函数中的参数,使得在各点处的偏差,然后确定函数( ) ( 1,2,...., ) i i i f x y i n ?? ??的平方和 21 nii???最小, 这种根据偏差平方和最小的条件确定参数的方法叫做最小二乘法。一、曲线拟合的方法:最小二乘法 0x y+ ++ ++ ++ + i?),( iiyx)(xfy? ( ) y f x ?曲线称为拟合曲线 2. 用什么样的曲线拟合已知数据? (1) 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x); + + + ++++ + +++ + ++ + + + + ++ ++++ + ++++ + f=a 1+a 2xf=a 1+a 2x+a 3x 2f=a 1+a 2x+a 3x 2 f=a 1+a 2/xf=ae bxf=ae - bx (2) 将数据(x i,y i ) i =1, …,n作图,通过直观判断确定 f(x): 3. 线性拟合函数中系数的确定 2 2 1 2 1 2 1 1 ( , ) [( ) ] n n i i i i i J a a a x a y ?? ?? ???? ?达到最小。21,aa? 1 2 ( ) , f x a x a ? ?设 1 2 a a 确定,使得 1 2 1 1 2 1 2[( ) ] 0 2[( ) ] 0 n i i i in i i i a x a y x a x a y ???? ??????? ??????二、人口预测线性模型对于开始提出的拟合引例问题, 代如数据,计算得 27754 , 15 21???aa 从而得到人口数与年份的函数关系为 27754 15??xy 把 x=1999 代如,估算出 1999 年的人口数为 y = (百万)= 亿 1999 年实际人口数量为12 .6亿。线性预测模型英国人口学家 Malthus 根据百余年的人口统计资料,得出人口数量在某时刻的增长率与该时刻人口数量成正比的规律,并于 1798 年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型( Malthus 模型) 。?? btaetx ??三、人口预测的 Malthus 模型??????? 0)0( ,xx rx dt dx trextx 0)(??设x(t ) 为t时刻的人口数量,t