高等数学课件D10_6高斯公式.ppt

2017-2-21 高等数学课件第六节 Green 公式 Gauss 公式推广一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束高斯公式通量与散度第十章 2017-2-21 高等数学课件一、高斯( Gauss ) 公式定理 1. 设空间闭区域?由分片光滑的闭曲?上有连续的一阶偏导数,zyxz Ry Qx Pddd ????????????????????????yxRxzQzyPddddddzyxz Rddd ??????????yxRdd 下面先证: 函数 P, Q, R 在面?所围成, ?的方向取外侧, 则有(Gauss 公式) 高斯目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件 2? 3? 1?? zyx yxD?),,(yxR? yxyxRdd),,(?,),(: 11yxzz??证明: 设yxDyxyxzyxzyxz????),(,),(),(),(: 21, 321???????zz R yxzyxzd ),(),( 21?????? yxD),( 2yxz),( 1yxz ???yxRdd ??? yxD????? 2zyxz Rddd ??????yxdd ???? 1 ???? 3? yxRdd 为 XY 型区域, ),,(: 22yxzz??则yxyxRdd),,( ??? yxD ??? yxD),( 2yxzyxyxRdd),,(),( 1yxz 定理 1 目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件所以zyxz Rddd ??????????yxRdd 若?不是 XY –型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个 XY –型区域,故上式仍成立. 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面类似可证 zyxy Qddd ????????????yxRxzQzyPdddddd?? zyxz Ry Qx Pddd????????????????xzQdd zyxx Pddd ??????????zyPdd 三式相加, 即得所证 Gauss 公式: 定理 1 目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件例1. 用 Gauss 公式计算??????zyxzyyxyxdd)(dd)( 其中?为柱面 1 22??yx 闭域?的整个边界曲面的外侧. 解:这里利用 Gauss 公式, 得原式= ?????zyxzyddd)( ??????zrrzrddd) sin (??(用柱坐标)zzrrrd) sin (dd 30 10 20????????2 9??? x 3o z1 y ,)(xzyP??,0?QyxR??及平面 z = 0 , z = 3所围空间思考:若?改为内侧, 结果有何变化? 若?为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 机动目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件例2. 利用 Gauss 公式计算积分 SzyxId) cos cos cos ( 222?????????其中?为锥面 222zyx??? ho zyx 解: 作辅助面,: 1hz??,:),( 222hyxDyx yx???取上侧?????? 1(I ???? 1Szyxd) cos cos cos )( 222????? 0, 2 1????????上在介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1,??记 h 1?所围区域为?,则???????zyxzyxddd)(2 yxh yxDdd 2 ???机动目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件???????zyxzyxIddd)(2 利用重心公式, 注意 0??yx ?????zyxzddd2 4h?? yxh yxDdd 2 ??? 42 1h????? hz 02 2z?? zd 4h??? ho zyx h 1?机动目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件例3..dddddd)( 2223 ???????yxzxxz yzxzyxzxI 设?为曲面 21,2 22?????zyxz 取上侧, 求解:作取下侧的辅助面 1: 1??z 1:),( 22???yxDyx yx?I ????????? 11 ?????zyxddd yxxdd)( 2??? xyD)1(?????? 20d? 10dr?? 221d rz????? 20 2d cos? 10 3drr12 13?? 1 zox y 21 ? 1?用柱坐标用极坐标机动目录上页下页返回结束 2017-2-21 高等数学课件????????????????? cos cos cos z vy vx v ),(,),(yxvyxu 在闭区域?上具有一阶和二阶连续偏导数,