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浙江省首届高等数学(微积分)竞赛试题() 一、计算题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 求极限 0 1 cos lim ( 1)( 1 1) xxx e x ??? ??. 2. 求积分 1 1 | 1| , {( , ) | 2, 2} 2 2 D xy dxdy D x y x y ? ???????. y x e ?是方程 hx y ay by ce ?? ?? ??的一个解,求常数, , , a b c h . ( ) f x 连续,且当 1x ??时, 20 ( )[ ( ) 1] 2(1 ) xx xe f x f t dt x ? ???,求( ) f x . arctan 2 nnkSk ???,求 lim nnS ??. 6. 求积分 12121 (1 ) xx x e dx x ?? ??.二、(满分 15 分)求平面 2 2 1 x y z ? ??含在椭圆柱体 2 2 1 4 9 x y ? ?内的面积. 三、(满分 20 分)证明: 220 sin( ) 0 x dx ???. 四、(满分 20 分)设二元函数( , ) f x y 有一阶连续的偏导数,且(0,1) (1, 0) f f ?. 证明:单位圆周上至少存在两点满足方程( , ) ( , ) 0 y f x y x f x y x y ? ?? ?? ?. 五、(满分 15分) (非数学类做)设{ },{ } n n a b 为满足, 1 n n a b n e a e n ? ??的两个实数列,已知 0( 1) n a n ? ?,且 1 nna ???收敛. 证明: 1 nnnba ???也收敛. 六、( 满分 15分)( 数学类做)设11a?,21a?, 2 1 2 3 n n n a a a ? ?? ?,1n?,求1 nnn a x ???的收敛半径、收敛域及和函数. 2003 年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(工科类) 一、计算题(每小题 15 分,满分 60 分) 1 、求 2050 sin( ) lim xx xt dt x ??。 2 、设 31 ( ) sin x G x t t dt ??,求 10 ( ) G x dx ?。 3 、求 2401 xdxx ???。 4 、求 21 lim nnk n k n k ??????。二、(满分 20 分)求满足下列性质的曲线 C :设 0 0 0 ( , ) P x y 为曲线 22 y x ?上任一点,则由曲线 0 x x ?,22 y x ?,2 y x ?所围成区域的面积 A 与曲线 0 y y ?,2