集合知识在初等数学中的应用.doc

集合知识在初等数学中的应用摘要学****高等数学的过程中,在多门课程里都讲到了集合,特别是实变函数这门课程更是详细的介绍了集合. 但反观现在集合知识在义务教育阶段只字未提, 在普通高中阶段只是简单的认识了集合,对集合掌握的要求并不高。在学****了高等数学之后,我们如何才能做到“居高等数学之高”去临“中学数学之下”呢? 本文从内容、原理、思想、观点和方法多方面详细的介绍了高等数学中的集合知识在初等数学中的应用. 关键词高等数学初等数学集合知识 ,在数学里有四种命题关系,如表 1所示表1. 命题条件结论原命题若有性质 A (有 A )则有性质 B 逆命题若有 B 则无 A 否命题若无 A 则无 B 逆否命题若无 B 则无 A 我们知道四种命题的真实性之间有一个重要的逻辑关系:互为逆否的两个命题同真或者同假;而互否(或者互逆)的两个命题却没有这个必然性. 我们用集合的知识有助于我们理解四种命题真假性之间的关系. 例1设A 表示“ y kx ?(0k?)”,B 表示“函数( ) y f x ?为增函数”. 接着我们设 X ={所有的函数}, AY ={X 中具有性质 A 的所有对象} BY ={X 中具有性质 B 的所有是对象} . 例 2设A 表示“一元二次方程 2 y ax bx c ? ??中 24 b ac ??? 0?”,B 表示“一元二次方程 2 y ax bx c ? ??有实根”. 接着我们设 X?{ 所有的一元二次方程} , AY ={X 中具有性质 A 的所有函数} , BY ={X 中具有性质 B 的所有函数} . 我们把命题的四种形式用集合的包含关系表出(表 2) 表 2 原命题逆命题否命题逆否命题若A ,则 B A B Y Y ?若B ,则 A B A Y Y ?若无 A ,则无 B X A X B Y Y ?痧若无 B ,则无 A X B X A Y Y ?痧在例 1 中原命题和逆否命题均为真命题,、逆否命题、否命题和逆命题均为真命题. 由集合的包含关系可知 A B Y Y ?? X B X A Y Y ?痧 X A B A X B Y Y Y Y ? ??痧,这说明原命题与逆否命题有相同的真假性这与例 1例2 中原命题与逆否命题都为真相符,但由 A B Y Y ?并不可以推出 B A Y Y ?,这也与例 1中原命题为真而否命题为假, 例 2中有 A B Y Y ?且有 B A Y Y ?按照集合关系即 B A Y Y ?,表明两个命题之间是等价的. 综上我们可把命题的四种形式用集合的包含关系表示出来,其中若集合之间为可包含关系则命题为真, 用集合知识理解曲线方程定义设S 是一条平面曲线, ( , ) 0 F x y ?, S 是一个点集,我们把( , ) 0 F x y ?的解( , ) x y 组成一个集合记为 P . 当在平面内引入直