计算机数学基础(1)--集合论(02-3).doc

1 《计算机数学基础》离散数学辅导(3) ??第3章集合论( 2002 级用) 中央电大冯泰本章重点:集合概念,集合的运算,集合恒等式的证明,笛卡儿积. 一、重点内容 1. 集合的概念?集合与元素, 具有确定的, 可以区分的若干事物的全体称为集合, 其中的事物叫元素. 集合 A 中元素的个数为集合的元数?A?. ?集合的表示方法:列举法和描述法. 列举集合的元素, 元素不能重复出现, 集合中的元素无顺序之分. 集合与其元素之间存在属于“?”或不属于“?”关系. 2. 集合的关系:包含,子集,集合相等. ?包含( 子集) ,若BaAa????,则 B 包含 A(或A 包含于 B) ,称 A是B 的子集,记 BA?,又 A ?B ,则 A是B 的真子集,记 A ?B. ?集合相等,若 A?B,B?A ,则 A= B. 注意: 元素与集合, 集合与子集, 子集与幂集,?与?(?), 空集?与所有集合等的关系. 3. 特殊集合:全集、空集和幂集.?全集合 E ,在一个具体问题中,所涉及的集合都是某个集合的子集,该集合为全集. ?空集?,不含任何元素的集合为空集. 空集是惟一的,它是任何集合的子集. ?集合 A 的幂集 P(A) ,集合 A 的所有子集构成的集合 P(A)= }{Axx?.若?A?=n,则?P(A)?=2 n. 4. 集合的运算?集合 A和B 的并 A?B ,由集合 A和B 的所有元素组成的集合. ?集合 A和B 的交 A?B ,由集合 A和B 的公共元素组成的集合. ?集合 A 的补集?A ,属于 E 但不属于集合 A 的元素组成的集合, ? A. 补集总相对于一个全集.?集合 A与B 的差集 A-B ,由属于 A ,而不属于 B 的所有元素组成的集合.. ?集合 A与B 的对称差 A?B,A?B=(A-B)?(B-A)或A?B =) A?B 〕-( A?B) 应该很好地掌握 10 条运算律( 运算的性质)( 教材 P71 ~ 72) ,即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等. 5. 恒等式证明集合运算部分有三个方面的问题:其一是进行集合的运算;其二是集合运算式的化简; 其三是集合恒等式的推理证明. 集合恒等式的证明方法通常有二: (1) 要证明 A=B ,只需要证明 A?B ,又 A?B; (2) 通过运算律进行等式推导. 6. 有序对与笛卡儿积?有序对,就是有顺序的数组,如<x,y>,x,y 的位置是确定的,不能随意放置. 注意: 有序对<a,b>?<b,a>,以a,b 为元素的集合{a,b }={ b,a}; 有序对(a,a) 有意义, 而集合{a,a} 是单元素集合,应记作{a}. ?笛卡儿积, 把集合 A,B 合成集合 A×B ,规定 A×B= {<x,y>?x?A?y?B} 由于有序对<x,y>中x,y 的位置是确定的,因此 A×B 的记法也是确定的,不能写成 B × A. 2 笛卡儿积也可以多个集合合成, A 1×A 2×…×A n. 笛卡儿积的运算性质. 、实例例 已知 S= {2, a ,{3},4}, R ={{ a },3,4,1}, 指出下列命题的真值. (1) {a}?S; (2) {a}?R; (3) {a ,4,{3}} ?S; (4) {{a }